Номер 2.18, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.18. Даны отрезки a и b. Постройте отрезок, длина которого равна:

1) $\sqrt{a^2 + b^2}$;

2) $\sqrt{a^2 - b^2}$, $a > b$.

Выражение $\sqrt{a^2 + b^2}$ соответствует длине гипотенузы прямоугольного треугольника, катеты которого равны a и b. Согласно теореме Пифагора, если катеты равны a и b, то гипотенуза c вычисляется по формуле $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Таким образом, задача сводится к построению прямоугольного треугольника с заданными катетами.

Порядок построения:

1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку C.
2. Построим прямую, проходящую через точку C и перпендикулярную исходной. Для этого можно использовать циркуль и линейку для построения перпендикуляра. Угол при вершине C будет прямым ($90^\circ$).
3. На одной из прямых отложим от точки C отрезок CA, равный по длине данному отрезку a.
4. На второй (перпендикулярной) прямой отложим от точки C отрезок CB, равный по длине данному отрезку b.
5. Соединим точки A и B.

В результате мы получили прямоугольный треугольник ACB с катетами $CA = a$ и $CB = b$. Его гипотенуза AB по теореме Пифагора имеет искомую длину $\sqrt{a^2 + b^2}$.

Ответ: Искомый отрезок — это гипотенуза AB построенного прямоугольного треугольника.

Данное выражение соответствует длине катета прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза равна a, а другой катет равен b. Из теоремы Пифагора ($a^2 = x^2 + b^2$, где x — искомый катет) следует, что $x = \sqrt{a^2 - b^2}$. Условие $a > b$ является обязательным, так как гипотенуза всегда длиннее катета.

Порядок построения:

1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку C.
2. Построим прямую, проходящую через точку C и перпендикулярную исходной, чтобы получить прямой угол.
3. На одной из прямых отложим от точки C отрезок CB, равный по длине данному отрезку b. Это будет один из катетов.
4. Возьмем циркуль и установим его раствор равным длине отрезка a (длине гипотенузы).
5. Поставим острие циркуля в точку B (конец построенного катета) и проведем дугу так, чтобы она пересекла вторую прямую. Назовем точку пересечения A.
6. Соединим точки A и C.

В результате мы получили прямоугольный треугольник ACB с прямым углом C, в котором гипотенуза $AB = a$ и катет $CB = b$. Второй катет AC, по теореме Пифагора, имеет искомую длину $\sqrt{a^2 - b^2}$.

Ответ: Искомый отрезок — это катет AC построенного прямоугольного треугольника.