Номер 2.13, страница 58 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.13. Какими тремя последовательными натуральными числами могут выражаться стороны прямоугольного треугольника?

Пусть стороны прямоугольного треугольника выражаются тремя последовательными натуральными числами. Обозначим эти числа как $n$, $n+1$ и $n+2$, где $n$ — натуральное число, то есть $n \ge 1$.

В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной. Следовательно, в нашем случае гипотенуза будет равна наибольшему из этих чисел, то есть $n+2$. Две другие стороны, $n$ и $n+1$, будут катетами.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. Запишем это в виде уравнения:
$n^2 + (n+1)^2 = (n+2)^2$

Теперь необходимо решить это уравнение, чтобы найти значение $n$. Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы:
$n^2 + (n^2 + 2 \cdot n \cdot 1 + 1^2) = (n^2 + 2 \cdot n \cdot 2 + 2^2)$
$n^2 + n^2 + 2n + 1 = n^2 + 4n + 4$

Упростим выражение, приведя подобные слагаемые:
$2n^2 + 2n + 1 = n^2 + 4n + 4$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$2n^2 - n^2 + 2n - 4n + 1 - 4 = 0$
$n^2 - 2n - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант. Найдем корни, разложив уравнение на множители. Нам нужны два числа, произведение которых равно -3, а сумма равна 2. Это числа 3 и -1. Уравнение можно переписать в виде:
$(n - 3)(n + 1) = 0$
Отсюда получаем два возможных решения для $n$:
$n - 3 = 0 \implies n_1 = 3$
$n + 1 = 0 \implies n_2 = -1$

По условию задачи, стороны треугольника должны быть натуральными числами. Длина стороны не может быть отрицательной, поэтому корень $n = -1$ не является решением задачи.
Единственным подходящим решением является $n = 3$.

Теперь найдем длины сторон треугольника, подставив значение $n=3$:
Первая сторона (катет): $n = 3$
Вторая сторона (катет): $n + 1 = 3 + 1 = 4$
Третья сторона (гипотенуза): $n + 2 = 3 + 2 = 5$

Проверим, действительно ли эти стороны образуют прямоугольный треугольник:
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
$5^2 = 25$
Поскольку $25 = 25$, теорема Пифагора выполняется.

Ответ: Стороны прямоугольного треугольника могут выражаться тремя последовательными натуральными числами 3, 4 и 5.