Номер 2.10, страница 58 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.10. Будет ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражены числами:

1) 6, 8, 10;

2) 5, 6, 7;

3) 9, 12, 15;

4) 10, 24, 26;

5) 3, 4, 6;

6) 11, 9, 13;

7) 15, 20, 25?

Для того чтобы определить, будет ли треугольник прямоугольным, необходимо использовать теорему, обратную теореме Пифагора. Она утверждает, что если квадрат длины наибольшей стороны треугольника равен сумме квадратов длин двух других его сторон, то этот треугольник является прямоугольным.
Пусть стороны треугольника равны $a, b$ и $c$, где $c$ — наибольшая сторона. Треугольник будет прямоугольным, если выполняется равенство: $c^2 = a^2 + b^2$. Проверим это для каждого случая.

1) Стороны: 6, 8, 10.

Наибольшая сторона $c=10$. Две другие стороны $a=6$ и $b=8$.
Проверим равенство: $c^2 = a^2 + b^2$.
Квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 10^2 = 100$.
Сумма квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
Поскольку $100 = 100$, равенство выполняется.
Ответ: да, этот треугольник является прямоугольным.

2) Стороны: 5, 6, 7.

Наибольшая сторона $c=7$. Две другие стороны $a=5$ и $b=6$.
Проверим равенство: $c^2 = a^2 + b^2$.
Квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 7^2 = 49$.
Сумма квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$.
Поскольку $49 \neq 61$, равенство не выполняется.
Ответ: нет, этот треугольник не является прямоугольным.

3) Стороны: 9, 12, 15.

Наибольшая сторона $c=15$. Две другие стороны $a=9$ и $b=12$.
Проверим равенство: $c^2 = a^2 + b^2$.
Квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 15^2 = 225$.
Сумма квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$.
Поскольку $225 = 225$, равенство выполняется.
Ответ: да, этот треугольник является прямоугольным.

4) Стороны: 10, 24, 26.

Наибольшая сторона $c=26$. Две другие стороны $a=10$ и $b=24$.
Проверим равенство: $c^2 = a^2 + b^2$.
Квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 26^2 = 676$.
Сумма квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$.
Поскольку $676 = 676$, равенство выполняется.
Ответ: да, этот треугольник является прямоугольным.

5) Стороны: 3, 4, 6.

Наибольшая сторона $c=6$. Две другие стороны $a=3$ и $b=4$.
Проверим равенство: $c^2 = a^2 + b^2$.
Квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 6^2 = 36$.
Сумма квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
Поскольку $36 \neq 25$, равенство не выполняется.
Ответ: нет, этот треугольник не является прямоугольным.

6) Стороны: 11, 9, 13.

Наибольшая сторона $c=13$. Две другие стороны $a=9$ и $b=11$.
Проверим равенство: $c^2 = a^2 + b^2$.
Квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 13^2 = 169$.
Сумма квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 9^2 + 11^2 = 81 + 121 = 202$.
Поскольку $169 \neq 202$, равенство не выполняется.
Ответ: нет, этот треугольник не является прямоугольным.

7) Стороны: 15, 20, 25.

Наибольшая сторона $c=25$. Две другие стороны $a=15$ и $b=20$.
Проверим равенство: $c^2 = a^2 + b^2$.
Квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 25^2 = 625$.
Сумма квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$.
Поскольку $625 = 625$, равенство выполняется.
Ответ: да, этот треугольник является прямоугольным.