Номер 2.27, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.27. Внутри прямого угла взята точка, которая находится на расстоянии $a$ и $b$ от его сторон. Найдите расстояние от этой точки до вершины угла (рис. 2.13).

Рис. 2.13

Пусть вершина прямого угла находится в точке О, а стороны угла лежат на осях координат. Точка А находится внутри угла. Расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру.

Опустим из точки А перпендикуляры на стороны угла. Пусть один перпендикуляр имеет основание B на одной стороне угла, а другой перпендикуляр — основание C на другой стороне. В результате мы получаем прямоугольник OBAC, так как все его углы прямые:

• $ \angle BOC = 90^\circ $ (по условию, угол прямой).
• $ \angle OBA = 90^\circ $ (так как AB — перпендикуляр).
• $ \angle OCA = 90^\circ $ (так как AC — перпендикуляр).
• Следовательно, $ \angle BAC $ также равен $ 90^\circ $.

Стороны этого прямоугольника равны расстояниям от точки А до сторон угла. Согласно условию, эти расстояния равны $ a $ и $ b $. Пусть длина стороны $ OB $, равная длине $ AC $, будет $ a $, а длина стороны $ OC $, равная длине $ AB $, будет $ b $.

Расстояние от точки А до вершины угла О — это длина диагонали OA данного прямоугольника. Мы можем найти ее, рассмотрев прямоугольный треугольник OBA. В этом треугольнике:

• Катет $ OB = a $.
• Катет $ AB = b $.
• Гипотенуза — $ OA $.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$ OA^2 = OB^2 + AB^2 $

Подставив известные значения, получаем:

$ OA^2 = a^2 + b^2 $

Отсюда находим искомое расстояние OA:

$ OA = \sqrt{a^2 + b^2} $

Ответ: $ \sqrt{a^2 + b^2} $