Номер 2.30, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.30. Найдите расстояние от центра окружности до хорды длиной 8 см, если радиус окружности равен 5 см.

Пусть O — центр окружности, R — её радиус, а AB — данная хорда. По условию задачи, длина хорды $AB = 8$ см, а радиус окружности $R = 5$ см.

Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра O на хорду AB. Обозначим этот перпендикуляр OH, где H — точка на хорде AB. Таким образом, нам нужно найти длину отрезка OH.

Соединим центр окружности O с концами хорды A и B. Получим треугольник $\triangle AOB$. Его стороны OA и OB являются радиусами окружности, поэтому $OA = OB = R = 5$ см. Следовательно, треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным с основанием AB.

В равнобедренном треугольнике $\triangle AOB$ высота OH, проведенная к основанию AB, является также и медианой. Это свойство означает, что высота делит основание AB пополам в точке H.

Найдем длину отрезка AH, который является половиной хорды AB: $AH = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOH$ (угол $\angle AHO = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны: гипотенуза $OA$ (радиус окружности) и катет $AH$ (половина хорды). Гипотенуза $OA = 5$ см, катет $AH = 4$ см. Второй катет OH — это искомое расстояние.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $OA^2 = AH^2 + OH^2$

Выразим из этой формулы квадрат искомого расстояния $OH^2$: $OH^2 = OA^2 - AH^2$

Подставим числовые значения и произведем вычисления: $OH^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$

Отсюда находим длину OH, взяв квадратный корень: $OH = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: 3 см.