Номер 2.26, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.26. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $c$, а один из острых углов - $\alpha$. Найдите катеты, их проекции на гипотенузу и высоту, проведенную к гипотенузе.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Гипотенуза $AB$ равна $c$. Пусть один из острых углов, например $\angle A$, равен $\alpha$. Тогда второй острый угол $\angle B = 90^\circ - \alpha$. Катеты треугольника — это стороны $AC$ и $BC$.

Катеты

Для нахождения длин катетов воспользуемся определениями синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике.
Катет $BC$, противолежащий углу $\alpha$, равен произведению гипотенузы на синус этого угла:
$BC = AB \cdot \sin(\angle A) = c \sin(\alpha)$.
Катет $AC$, прилежащий к углу $\alpha$, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла:
$AC = AB \cdot \cos(\angle A) = c \cos(\alpha)$.
Ответ: катеты равны $c \sin(\alpha)$ и $c \cos(\alpha)$.

Их проекции на гипотенузу

Проведем высоту $CH$ из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$. Отрезок $AH$ является проекцией катета $AC$ на гипотенузу, а отрезок $BH$ — проекцией катета $BC$ на гипотенузу.
Длину проекций можно найти из метрических соотношений в прямоугольном треугольнике.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$, в котором $\angle A = \alpha$. Проекция $AH$ является катетом в этом треугольнике:
$AH = AC \cdot \cos(\alpha) = (c \cos(\alpha)) \cdot \cos(\alpha) = c \cos^2(\alpha)$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCH$. В нем $\angle B = 90^\circ - \alpha$. Проекция $BH$ является катетом в этом треугольнике:
$BH = BC \cdot \cos(\angle B) = (c \sin(\alpha)) \cdot \cos(90^\circ - \alpha) = c \sin(\alpha) \cdot \sin(\alpha) = c \sin^2(\alpha)$.
Таким образом, проекция катета, прилежащего к углу $\alpha$, равна $c \cos^2(\alpha)$, а проекция катета, противолежащего углу $\alpha$, равна $c \sin^2(\alpha)$.
Ответ: проекции катетов на гипотенузу равны $c \cos^2(\alpha)$ и $c \sin^2(\alpha)$.

Высота, проведенная к гипотенузе

Высота, проведенная к гипотенузе, это отрезок $CH$. Ее длину можно найти из прямоугольного треугольника $ACH$:
$CH = AC \cdot \sin(\alpha) = (c \cos(\alpha)) \cdot \sin(\alpha) = c \sin(\alpha)\cos(\alpha)$.
Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, можно записать это выражение в другом виде:
$CH = \frac{c}{2} \cdot (2\sin(\alpha)\cos(\alpha)) = \frac{c}{2}\sin(2\alpha)$.
Ответ: высота, проведенная к гипотенузе, равна $c \sin(\alpha)\cos(\alpha)$ или $\frac{c}{2}\sin(2\alpha)$.