Номер 2.33, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.33. Найдите меньшую высоту треугольника, если его стороны равны:

1) 24 см, 25 см, 7 см;

2) 15 дм, 17 дм, 8 дм.

1)

Чтобы найти меньшую высоту треугольника, нужно найти высоту, проведенную к его большей стороне. Площадь треугольника $S$ связана с его стороной $a$ и высотой $h_a$, проведенной к этой стороне, формулой $S = \frac{1}{2} a h_a$. Отсюда $h_a = \frac{2S}{a}$. Так как площадь $S$ для данного треугольника является постоянной величиной, высота обратно пропорциональна стороне, к которой она проведена. Следовательно, меньшая высота будет проведена к большей стороне.

Даны стороны треугольника: $a = 24$ см, $b = 25$ см, $c = 7$ см.
Большая сторона – $b = 25$ см. Значит, нам нужно найти высоту, проведенную к этой стороне, обозначим ее $h_b$.

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ – полупериметр.
Найдем полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{24+25+7}{2} = \frac{56}{2} = 28$ см.

Теперь вычислим площадь $S$:
$S = \sqrt{28(28-24)(28-25)(28-7)} = \sqrt{28 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 21} = \sqrt{(4 \cdot 7) \cdot 4 \cdot 3 \cdot (3 \cdot 7)} = \sqrt{4^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см$^2$.

Зная площадь, найдем меньшую высоту $h_b$ из формулы $S = \frac{1}{2} b \cdot h_b$:
$h_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \cdot 84}{25} = \frac{168}{25} = 6,72$ см.
Ответ: 6,72 см.

2)

Даны стороны треугольника: $a = 15$ дм, $b = 17$ дм, $c = 8$ дм.
Большая сторона – $b = 17$ дм. Меньшая высота будет проведена к этой стороне.

Проверим, не является ли этот треугольник прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Сравним квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон:
$b^2 = 17^2 = 289$.
$a^2 + c^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$.
Так как $b^2 = a^2 + c^2$, треугольник является прямоугольным. Стороны $a=15$ дм и $c=8$ дм являются катетами, а сторона $b=17$ дм – гипотенузой.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} a \cdot c = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 = 60$ дм$^2$.

Меньшая высота треугольника проведена к его большей стороне (гипотенузе). Обозначим эту высоту $h_b$.
Площадь также можно выразить через гипотенузу и высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2} b \cdot h_b$.
Отсюда найдем высоту $h_b$:
$h_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \cdot 60}{17} = \frac{120}{17}$ дм.
Ответ: $\frac{120}{17}$ дм.