Номер 2.39, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.39. Диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны. Докажите, что суммы квадратов его противоположных сторон равны.

Пусть дан четырехугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию задачи, диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Это означает, что углы при пересечении диагоналей являются прямыми: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^\circ$.

Требуется доказать, что суммы квадратов длин его противоположных сторон равны. То есть, необходимо доказать равенство: $AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$.

Пересекающиеся диагонали делят четырехугольник на четыре прямоугольных треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$. Для каждого из этих треугольников мы можем применить теорему Пифагора, согласно которой квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

• Для прямоугольного треугольника $\triangle AOB$ (гипотенуза $AB$): $AB^2 = AO^2 + BO^2$
• Для прямоугольного треугольника $\triangle BOC$ (гипотенуза $BC$): $BC^2 = BO^2 + CO^2$
• Для прямоугольного треугольника $\triangle COD$ (гипотенуза $CD$): $CD^2 = CO^2 + DO^2$
• Для прямоугольного треугольника $\triangle DOA$ (гипотенуза $DA$): $DA^2 = DO^2 + AO^2$

Теперь составим сумму квадратов для одной пары противоположных сторон ($AB$ и $CD$), используя полученные выражения:

$AB^2 + CD^2 = (AO^2 + BO^2) + (CO^2 + DO^2)$

И для другой пары противоположных сторон ($BC$ и $DA$):

$BC^2 + DA^2 = (BO^2 + CO^2) + (DO^2 + AO^2)$

Перегруппируем слагаемые в правых частях обоих равенств, чтобы увидеть их структуру:

$AB^2 + CD^2 = AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2$

$BC^2 + DA^2 = AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2$

Правые части обоих выражений равны одной и той же величине — сумме квадратов длин четырех отрезков, на которые диагонали делятся точкой их пересечения. Следовательно, равны и левые части:

$AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.