Номер 2.43, страница 64 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.43. Один катет прямоугольного треугольника равен $b$, а противолежащий ему угол – $\beta$. Выразите через $b$ и $\beta$ другой катет, гипотенузу и второй острый угол треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник. Обозначим его катеты как $a$ и $b$, гипотенузу как $c$, а острые углы, противолежащие этим катетам, как $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Прямой угол равен $90^\circ$.

По условию задачи, один катет равен $b$, а противолежащий ему угол — $\beta$. Требуется выразить через $b$ и $\beta$ другой катет ($a$), гипотенузу ($c$) и второй острый угол ($\alpha$).

Другой катет
В прямоугольном треугольнике отношение прилежащего катета к противолежащему равно котангенсу угла. Для угла $\beta$ прилежащим катетом является $a$, а противолежащим — $b$. $$ \cot(\beta) = \frac{a}{b} $$ Из этого соотношения выражаем катет $a$: $$ a = b \cdot \cot(\beta) $$ Также можно использовать тангенс: $\tan(\beta) = \frac{b}{a}$, откуда $a = \frac{b}{\tan(\beta)}$. Оба выражения эквивалентны.
Ответ: $b \cdot \cot(\beta)$.

Гипотенуза
В прямоугольном треугольнике отношение противолежащего катета к гипотенузе равно синусу угла. Для угла $\beta$ противолежащим катетом является $b$, а гипотенузой — $c$. $$ \sin(\beta) = \frac{b}{c} $$ Из этого соотношения выражаем гипотенузу $c$: $$ c = \frac{b}{\sin(\beta)} $$ Ответ: $\frac{b}{\sin(\beta)}$.

Второй острый угол треугольника
Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Поскольку один угол прямой ($90^\circ$), сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. $$ \alpha + \beta = 90^\circ $$ Выражаем отсюда второй острый угол $\alpha$: $$ \alpha = 90^\circ - \beta $$ Ответ: $90^\circ - \beta$.