Номер 2.38, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.38. Две равные и взаимно перпендикулярные хорды окружности в точке пересечения делятся на части длиной 10 см и 16 см. Найдите радиус окружности.

Пусть в окружности с центром $O$ и радиусом $R$ проведены две равные и взаимно перпендикулярные хорды $AB$ и $CD$, которые пересекаются в точке $P$.

По условию задачи, хорды в точке пересечения делятся на отрезки длиной 10 см и 16 см. Так как хорды равны, то длина каждой из них составляет $10 + 16 = 26$ см. То есть, $AB = CD = 26$ см.

Проведем из центра окружности $O$ перпендикуляры $OM$ и $ON$ к хордам $AB$ и $CD$ соответственно. Таким образом, $OM \perp AB$ и $ON \perp CD$.

Свойство окружности гласит, что перпендикуляр, опущенный из центра на хорду, делит эту хорду пополам. Следовательно, точка $M$ является серединой хорды $AB$, а точка $N$ — серединой хорды $CD$.

Найдем длины половин хорд:

$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{26}{2} = 13$ см.

$CN = ND = \frac{CD}{2} = \frac{26}{2} = 13$ см.

Также известно, что равные хорды равноудалены от центра окружности. Поскольку $AB = CD$, то и расстояния от центра до этих хорд равны: $OM = ON$.

Рассмотрим четырехугольник $OMPN$. В нем три угла прямые: $\angle OMP = 90^\circ$ (по построению), $\angle ONP = 90^\circ$ (по построению) и $\angle MPN = 90^\circ$ (так как хорды $AB$ и $CD$ взаимно перпендикулярны по условию). Следовательно, $OMPN$ является прямоугольником. А так как у него смежные стороны $OM$ и $ON$ равны, то $OMPN$ — квадрат.

Теперь найдем длину стороны этого квадрата. Точка $P$ делит хорду $AB$ на отрезки, пусть $AP = 10$ см и $PB = 16$ см. Расстояние $PM$ можно найти как разность длин отрезков $MB$ и $PB$ (или $AM$ и $AP$):

$PM = |MB - PB| = |13 - 16| = 3$ см.

Или, что то же самое:

$PM = |AM - AP| = |13 - 10| = 3$ см.

Так как $OMPN$ — квадрат, то все его стороны равны 3 см: $OM = ON = NP = PM = 3$ см.

Для нахождения радиуса $R$ рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMB$. Гипотенуза этого треугольника — радиус $OB = R$, а катеты — $OM$ (расстояние от центра до хорды) и $MB$ (половина длины хорды).

По теореме Пифагора:

$R^2 = OB^2 = OM^2 + MB^2$

Подставим известные значения:

$R^2 = 3^2 + 13^2$

$R^2 = 9 + 169$

$R^2 = 178$

$R = \sqrt{178}$ см.

Ответ: $\sqrt{178}$ см.