Номер 2.36, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.36. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если его биссектриса делит гипотенузу на части, равные 12 см и 5 см.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Обозначим его катеты как $a$ и $b$ (соответственно, $BC$ и $AC$), а гипотенузу как $c$ ($AB$).

По условию задачи, биссектриса, проведенная из вершины прямого угла $C$, пересекает гипотенузу $AB$ в точке $D$ и делит ее на отрезки длиной 12 см и 5 см. Пусть $AD = 5$ см и $DB = 12$ см.

Полная длина гипотенузы $c$ равна сумме длин этих отрезков: $c = AD + DB = 5 \text{ см} + 12 \text{ см} = 17 \text{ см}$.

Для решения задачи воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника. Это свойство гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам (прилежащим к углу). В нашем случае биссектриса $CD$ делит гипотенузу $AB$, поэтому справедливо соотношение: $\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{DB}$

Подставим в это соотношение наши обозначения и известные значения: $\frac{b}{a} = \frac{5}{12}$

Из этой пропорции мы можем выразить один катет через другой: $b = \frac{5}{12}a$

Теперь применим теорему Пифагора, которая связывает катеты и гипотенузу в прямоугольном треугольнике: $a^2 + b^2 = c^2$

Подставим в теорему Пифагора выражение для $b$ и значение $c$: $a^2 + \left(\frac{5}{12}a\right)^2 = 17^2$

Теперь решим это уравнение относительно катета $a$: $a^2 + \frac{25}{144}a^2 = 289$ $a^2 \left(1 + \frac{25}{144}\right) = 289$ $a^2 \left(\frac{144}{144} + \frac{25}{144}\right) = 289$ $a^2 \left(\frac{169}{144}\right) = 289$

Выразим $a^2$: $a^2 = 289 \cdot \frac{144}{169}$

Чтобы найти длину катета $a$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (длина стороны может быть только положительной): $a = \sqrt{289 \cdot \frac{144}{169}} = \frac{\sqrt{289} \cdot \sqrt{144}}{\sqrt{169}} = \frac{17 \cdot 12}{13} = \frac{204}{13}$ см.

Теперь, когда мы нашли длину одного катета, можем вычислить длину второго катета $b$, используя ранее найденное соотношение $b = \frac{5}{12}a$: $b = \frac{5}{12} \cdot \frac{204}{13}$

Учитывая, что $204 = 12 \cdot 17$, мы можем сократить дробь: $b = \frac{5}{12} \cdot \frac{12 \cdot 17}{13} = \frac{5 \cdot 17}{13} = \frac{85}{13}$ см.

Ответ: длины катетов прямоугольного треугольника равны $\frac{204}{13}$ см и $\frac{85}{13}$ см.