Номер 2.37, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.37. Вписанная в прямоугольный треугольник окружность точкой касания делит гипотенузу на части, равные $m$ и $n$, $(m > n)$. Найдите радиус этой окружности.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Обозначим катеты как $a=BC$ и $b=AC$, а гипотенузу как $c=AB$.

Пусть вписанная окружность имеет центр $O$ и радиус $r$. Окружность касается гипотенузы $AB$ в точке $K$, катета $AC$ в точке $L$ и катета $BC$ в точке $M$.

По условию задачи, точка касания $K$ делит гипотенузу $AB$ на отрезки длиной $m$ и $n$. Пусть $AK = m$ и $KB = n$. Тогда длина гипотенузы $c = AK + KB = m+n$.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: отрезки касательных от вершины до точек касания равны.

• Из вершины $A$: $AL = AK = m$.
• Из вершины $B$: $BM = BK = n$.

В прямоугольном треугольнике четырехугольник $CLOM$ является квадратом, так как его углы прямые ($∠C=90°$, $∠CLO=90°$, $∠CMO=90°$), а смежные стороны $OL$ и $OM$ равны радиусу $r$. Следовательно, $CL = CM = r$.

Теперь мы можем выразить длины катетов через $m$, $n$ и $r$:

• Катет $a = BC = BM + MC = n + r$.
• Катет $b = AC = AL + LC = m + r$.

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим выражения для $a$, $b$ и $c$:

$(n+r)^2 + (m+r)^2 = (m+n)^2$

Раскроем скобки:

$(n^2 + 2nr + r^2) + (m^2 + 2mr + r^2) = m^2 + 2mn + n^2$

Сгруппируем члены в левой части уравнения:

$m^2 + n^2 + 2mr + 2nr + 2r^2 = m^2 + n^2 + 2mn$

Вычтем $m^2 + n^2$ из обеих частей уравнения:

$2mr + 2nr + 2r^2 = 2mn$

Разделим обе части уравнения на 2:

$mr + nr + r^2 = mn$

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения относительно $r$:

$r^2 + (m+n)r - mn = 0$

Это квадратное уравнение для нахождения радиуса $r$. Решим его, используя формулу для корней квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

В нашем случае $a=1$, $b=(m+n)$, $c=-mn$.

$r = \frac{-(m+n) \pm \sqrt{(m+n)^2 - 4(1)(-mn)}}{2(1)}$

$r = \frac{-(m+n) \pm \sqrt{m^2 + 2mn + n^2 + 4mn}}{2}$

$r = \frac{-(m+n) \pm \sqrt{m^2 + 6mn + n^2}}{2}$

Поскольку радиус $r$ должен быть положительной величиной, мы выбираем корень со знаком плюс:

$r = \frac{-(m+n) + \sqrt{m^2 + 6mn + n^2}}{2}$

Ответ: $r = \frac{\sqrt{m^2 + 6mn + n^2} - (m+n)}{2}$.