Номер 2.31, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.31. Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Найдите стороны и диагонали параллелограмма, если разность двух его сторон равна 1 см, а периметр равен 50 см (рис. 2.14).

Рис. 2.14

Стороны параллелограмма

Пусть смежные стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Периметр $P$ параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. По условию задачи, периметр равен 50 см, следовательно:
$2(a+b) = 50$
$a+b = 25$ см.

Также по условию известно, что разность двух его сторон равна 1 см. Будем считать, что $a > b$, тогда $a-b = 1$ см. Получаем систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $ \begin{cases} a+b = 25 \\ a-b = 1 \end{cases} $

Сложив оба уравнения, получим: $(a+b) + (a-b) = 25+1$, что приводит к $2a = 26$, и, соответственно, $a=13$ см. Подставив найденное значение $a$ в первое уравнение, найдем $b$: $13+b=25$, откуда $b=12$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 12 см и 13 см.

Диагонали параллелограмма

Из предыдущего пункта известно, что стороны параллелограмма равны 12 см и 13 см. По условию, одна из диагоналей является его высотой. Пусть в параллелограмме $ABCD$ диагональ $BD$ является высотой, опущенной на сторону $AD$. Это означает, что треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом $\angle BDA = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза $AB$ является наибольшей стороной, следовательно, $AB > AD$. Таким образом, большая сторона параллелограмма (13 см) должна быть гипотенузой $AB$, а меньшая (12 см) — катетом $AD$. Итак, $AB = 13$ см и $AD = 12$ см.

По теореме Пифагора, $AB^2 = AD^2 + BD^2$, мы можем найти длину диагонали $BD$:
$13^2 = 12^2 + BD^2$
$169 = 144 + BD^2$
$BD^2 = 169 - 144 = 25$
$BD = \sqrt{25} = 5$ см.

Для нахождения второй диагонали $AC$ воспользуемся свойством параллелограмма, которое гласит, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон: $AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)$. Подставим известные значения:
$AC^2 + 5^2 = 2(13^2 + 12^2)$
$AC^2 + 25 = 2(169 + 144)$
$AC^2 + 25 = 2(313)$
$AC^2 + 25 = 626$
$AC^2 = 626 - 25 = 601$
$AC = \sqrt{601}$ см.

Ответ: диагонали параллелограмма равны 5 см и $\sqrt{601}$ см.