Страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.30. Найдите расстояние от центра окружности до хорды длиной 8 см, если радиус окружности равен 5 см.

Пусть O — центр окружности, R — её радиус, а AB — данная хорда. По условию задачи, длина хорды $AB = 8$ см, а радиус окружности $R = 5$ см.

Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра O на хорду AB. Обозначим этот перпендикуляр OH, где H — точка на хорде AB. Таким образом, нам нужно найти длину отрезка OH.

Соединим центр окружности O с концами хорды A и B. Получим треугольник $\triangle AOB$. Его стороны OA и OB являются радиусами окружности, поэтому $OA = OB = R = 5$ см. Следовательно, треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным с основанием AB.

В равнобедренном треугольнике $\triangle AOB$ высота OH, проведенная к основанию AB, является также и медианой. Это свойство означает, что высота делит основание AB пополам в точке H.

Найдем длину отрезка AH, который является половиной хорды AB: $AH = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOH$ (угол $\angle AHO = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны: гипотенуза $OA$ (радиус окружности) и катет $AH$ (половина хорды). Гипотенуза $OA = 5$ см, катет $AH = 4$ см. Второй катет OH — это искомое расстояние.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $OA^2 = AH^2 + OH^2$

Выразим из этой формулы квадрат искомого расстояния $OH^2$: $OH^2 = OA^2 - AH^2$

Подставим числовые значения и произведем вычисления: $OH^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$

Отсюда находим длину OH, взяв квадратный корень: $OH = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: 3 см.

2.31. Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Найдите стороны и диагонали параллелограмма, если разность двух его сторон равна 1 см, а периметр равен 50 см (рис. 2.14).

Рис. 2.14

Стороны параллелограмма

Пусть смежные стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Периметр $P$ параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. По условию задачи, периметр равен 50 см, следовательно:
$2(a+b) = 50$
$a+b = 25$ см.

Также по условию известно, что разность двух его сторон равна 1 см. Будем считать, что $a > b$, тогда $a-b = 1$ см. Получаем систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $ \begin{cases} a+b = 25 \\ a-b = 1 \end{cases} $

Сложив оба уравнения, получим: $(a+b) + (a-b) = 25+1$, что приводит к $2a = 26$, и, соответственно, $a=13$ см. Подставив найденное значение $a$ в первое уравнение, найдем $b$: $13+b=25$, откуда $b=12$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 12 см и 13 см.

Диагонали параллелограмма

Из предыдущего пункта известно, что стороны параллелограмма равны 12 см и 13 см. По условию, одна из диагоналей является его высотой. Пусть в параллелограмме $ABCD$ диагональ $BD$ является высотой, опущенной на сторону $AD$. Это означает, что треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом $\angle BDA = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза $AB$ является наибольшей стороной, следовательно, $AB > AD$. Таким образом, большая сторона параллелограмма (13 см) должна быть гипотенузой $AB$, а меньшая (12 см) — катетом $AD$. Итак, $AB = 13$ см и $AD = 12$ см.

По теореме Пифагора, $AB^2 = AD^2 + BD^2$, мы можем найти длину диагонали $BD$:
$13^2 = 12^2 + BD^2$
$169 = 144 + BD^2$
$BD^2 = 169 - 144 = 25$
$BD = \sqrt{25} = 5$ см.

Для нахождения второй диагонали $AC$ воспользуемся свойством параллелограмма, которое гласит, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон: $AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)$. Подставим известные значения:
$AC^2 + 5^2 = 2(13^2 + 12^2)$
$AC^2 + 25 = 2(169 + 144)$
$AC^2 + 25 = 2(313)$
$AC^2 + 25 = 626$
$AC^2 = 626 - 25 = 601$
$AC = \sqrt{601}$ см.

Ответ: диагонали параллелограмма равны 5 см и $\sqrt{601}$ см.

2.32. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе прямоугольного треугольника, если его катеты равны:

1) 5 м, 12 м;

2) 12 м, 16 м.

Для нахождения высоты, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника, воспользуемся методом площадей. Пусть $a$ и $b$ — катеты треугольника, $c$ — гипотенуза, а $h$ — высота, проведенная к гипотенузе.

Площадь $S$ прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: $S = \frac{1}{2}ab$

2. Через гипотенузу и высоту к ней: $S = \frac{1}{2}ch$

Приравнивая эти два выражения, получаем $ab = ch$, откуда можно выразить искомую высоту: $h = \frac{ab}{c}$.

Гипотенузу $c$ найдем по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

1) Даны катеты $a = 5$ м и $b = 12$ м.

Сначала найдем длину гипотенузы $c$:

$c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ м.

Теперь, зная гипотенузу, можем найти высоту $h$:

$h = \frac{a \cdot b}{c} = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13}$ м.

Ответ: $\frac{60}{13}$ м.

2) Даны катеты $a = 12$ м и $b = 16$ м.

Сначала найдем длину гипотенузы $c$:

$c = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$ м.

Теперь вычислим высоту $h$:

$h = \frac{a \cdot b}{c} = \frac{12 \cdot 16}{20} = \frac{192}{20} = 9,6$ м.

Ответ: $9,6$ м.

2.33. Найдите меньшую высоту треугольника, если его стороны равны:

1) 24 см, 25 см, 7 см;

2) 15 дм, 17 дм, 8 дм.

1)

Чтобы найти меньшую высоту треугольника, нужно найти высоту, проведенную к его большей стороне. Площадь треугольника $S$ связана с его стороной $a$ и высотой $h_a$, проведенной к этой стороне, формулой $S = \frac{1}{2} a h_a$. Отсюда $h_a = \frac{2S}{a}$. Так как площадь $S$ для данного треугольника является постоянной величиной, высота обратно пропорциональна стороне, к которой она проведена. Следовательно, меньшая высота будет проведена к большей стороне.

Даны стороны треугольника: $a = 24$ см, $b = 25$ см, $c = 7$ см.
Большая сторона – $b = 25$ см. Значит, нам нужно найти высоту, проведенную к этой стороне, обозначим ее $h_b$.

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ – полупериметр.
Найдем полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{24+25+7}{2} = \frac{56}{2} = 28$ см.

Теперь вычислим площадь $S$:
$S = \sqrt{28(28-24)(28-25)(28-7)} = \sqrt{28 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 21} = \sqrt{(4 \cdot 7) \cdot 4 \cdot 3 \cdot (3 \cdot 7)} = \sqrt{4^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см$^2$.

Зная площадь, найдем меньшую высоту $h_b$ из формулы $S = \frac{1}{2} b \cdot h_b$:
$h_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \cdot 84}{25} = \frac{168}{25} = 6,72$ см.
Ответ: 6,72 см.

2)

Даны стороны треугольника: $a = 15$ дм, $b = 17$ дм, $c = 8$ дм.
Большая сторона – $b = 17$ дм. Меньшая высота будет проведена к этой стороне.

Проверим, не является ли этот треугольник прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Сравним квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон:
$b^2 = 17^2 = 289$.
$a^2 + c^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$.
Так как $b^2 = a^2 + c^2$, треугольник является прямоугольным. Стороны $a=15$ дм и $c=8$ дм являются катетами, а сторона $b=17$ дм – гипотенузой.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} a \cdot c = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 = 60$ дм$^2$.

Меньшая высота треугольника проведена к его большей стороне (гипотенузе). Обозначим эту высоту $h_b$.
Площадь также можно выразить через гипотенузу и высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2} b \cdot h_b$.
Отсюда найдем высоту $h_b$:
$h_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \cdot 60}{17} = \frac{120}{17}$ дм.
Ответ: $\frac{120}{17}$ дм.

2.34. Как построить отрезок $x = \sqrt{ab}$, если даны отрезки a и b?

Для построения отрезка $x = \sqrt{ab}$, который представляет собой среднее геометрическое двух данных отрезков с длинами $a$ и $b$, можно воспользоваться свойством высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.

Построение выполняется с помощью циркуля и линейки по следующему алгоритму:
1. Проведите прямую линию и выберите на ней произвольную точку $A$.
2. От точки $A$ отложите отрезок $AC$, длина которого равна $a$.
3. От точки $C$ на той же прямой и в том же направлении отложите отрезок $CB$, длина которого равна $b$. В результате получится отрезок $AB$ с длиной, равной $a+b$.
4. Найдите середину отрезка $AB$. Обозначим эту точку $O$. Это делается путем построения серединного перпендикуляра к $AB$.
5. С центром в точке $O$ и радиусом $R = OA = OB = \frac{a+b}{2}$ постройте полуокружность, для которой $AB$ является диаметром.
6. В точке $C$ проведите перпендикуляр к прямой $AB$. Точку пересечения этого перпендикуляра с полуокружностью обозначьте $D$.
7. Отрезок $CD$ является искомым отрезком. Его длина $x$ равна $\sqrt{ab}$.

Доказательство:Соединим точки $A$ и $D$, а также $B$ и $D$. Рассмотрим полученный треугольник $\triangle ADB$. Угол $\angle ADB$ является вписанным углом, который опирается на диаметр $AB$ окружности. Следовательно, $\angle ADB = 90^\circ$, и $\triangle ADB$ — прямоугольный. Отрезок $CD$ является высотой этого треугольника, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу. По теореме о высоте в прямоугольном треугольнике, квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению длин отрезков, на которые высота делит гипотенузу. То есть:
$CD^2 = AC \cdot CB$
Так как по построению $AC = a$ и $CB = b$, то мы получаем:
$CD^2 = a \cdot b$
Из этого следует, что длина отрезка $CD$ равна:
$CD = \sqrt{ab}$
Таким образом, построенный отрезок $CD$ и есть искомый отрезок $x$.

Ответ: Чтобы построить отрезок $x = \sqrt{ab}$, необходимо на прямой последовательно отложить отрезки длиной $a$ и $b$. Затем на получившемся отрезке длиной $a+b$ как на диаметре построить полуокружность. Из точки соединения отрезков $a$ и $b$ восстановить перпендикуляр до пересечения с полуокружностью. Длина этого перпендикуляра будет равна $\sqrt{ab}$.

2.35. Пусть $a, b, c$ – стороны треугольника, для которых выполняется равенство $a^2 + b^2 = c^2$. Докажите, что этот треугольник является прямоугольным.

Для доказательства воспользуемся теоремой косинусов.

Рассмотрим треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$. Пусть $\gamma$ — это угол, лежащий напротив стороны $c$. Согласно теореме косинусов, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Для стороны $c$ это записывается так:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

По условию задачи нам дано, что для сторон этого треугольника выполняется равенство:
$a^2 + b^2 = c^2$

Теперь мы можем приравнять правые части этих двух выражений, так как левые части равны ($c^2$):
$a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) = a^2 + b^2$

Вычтем из обеих частей равенства выражение $a^2 + b^2$:
$-2ab \cos(\gamma) = 0$

Так как $a$ и $b$ являются длинами сторон треугольника, они не могут быть равны нулю ($a > 0$ и $b > 0$). Следовательно, произведение $-2ab$ также не равно нулю. Равенство будет верным только в том случае, если множитель $\cos(\gamma)$ равен нулю:
$\cos(\gamma) = 0$

Поскольку $\gamma$ — это угол в треугольнике, его значение должно лежать в интервале $(0^\circ; 180^\circ)$. Единственный угол в этом диапазоне, косинус которого равен нулю, — это $90^\circ$.
Следовательно, $\gamma = 90^\circ$.

Это означает, что угол, противолежащий стороне $c$, является прямым. Таким образом, треугольник является прямоугольным, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если для сторон треугольника $a, b, c$ выполняется равенство $a^2 + b^2 = c^2$, то по теореме, обратной теореме Пифагора (которая доказывается через теорему косинусов, как показано выше), этот треугольник является прямоугольным с гипотенузой $c$ и катетами $a$ и $b$.

2.36. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если его биссектриса делит гипотенузу на части, равные 12 см и 5 см.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Обозначим его катеты как $a$ и $b$ (соответственно, $BC$ и $AC$), а гипотенузу как $c$ ($AB$).

По условию задачи, биссектриса, проведенная из вершины прямого угла $C$, пересекает гипотенузу $AB$ в точке $D$ и делит ее на отрезки длиной 12 см и 5 см. Пусть $AD = 5$ см и $DB = 12$ см.

Полная длина гипотенузы $c$ равна сумме длин этих отрезков: $c = AD + DB = 5 \text{ см} + 12 \text{ см} = 17 \text{ см}$.

Для решения задачи воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника. Это свойство гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам (прилежащим к углу). В нашем случае биссектриса $CD$ делит гипотенузу $AB$, поэтому справедливо соотношение: $\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{DB}$

Подставим в это соотношение наши обозначения и известные значения: $\frac{b}{a} = \frac{5}{12}$

Из этой пропорции мы можем выразить один катет через другой: $b = \frac{5}{12}a$

Теперь применим теорему Пифагора, которая связывает катеты и гипотенузу в прямоугольном треугольнике: $a^2 + b^2 = c^2$

Подставим в теорему Пифагора выражение для $b$ и значение $c$: $a^2 + \left(\frac{5}{12}a\right)^2 = 17^2$

Теперь решим это уравнение относительно катета $a$: $a^2 + \frac{25}{144}a^2 = 289$ $a^2 \left(1 + \frac{25}{144}\right) = 289$ $a^2 \left(\frac{144}{144} + \frac{25}{144}\right) = 289$ $a^2 \left(\frac{169}{144}\right) = 289$

Выразим $a^2$: $a^2 = 289 \cdot \frac{144}{169}$

Чтобы найти длину катета $a$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (длина стороны может быть только положительной): $a = \sqrt{289 \cdot \frac{144}{169}} = \frac{\sqrt{289} \cdot \sqrt{144}}{\sqrt{169}} = \frac{17 \cdot 12}{13} = \frac{204}{13}$ см.

Теперь, когда мы нашли длину одного катета, можем вычислить длину второго катета $b$, используя ранее найденное соотношение $b = \frac{5}{12}a$: $b = \frac{5}{12} \cdot \frac{204}{13}$

Учитывая, что $204 = 12 \cdot 17$, мы можем сократить дробь: $b = \frac{5}{12} \cdot \frac{12 \cdot 17}{13} = \frac{5 \cdot 17}{13} = \frac{85}{13}$ см.

Ответ: длины катетов прямоугольного треугольника равны $\frac{204}{13}$ см и $\frac{85}{13}$ см.

2.37. Вписанная в прямоугольный треугольник окружность точкой касания делит гипотенузу на части, равные $m$ и $n$, $(m > n)$. Найдите радиус этой окружности.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Обозначим катеты как $a=BC$ и $b=AC$, а гипотенузу как $c=AB$.

Пусть вписанная окружность имеет центр $O$ и радиус $r$. Окружность касается гипотенузы $AB$ в точке $K$, катета $AC$ в точке $L$ и катета $BC$ в точке $M$.

По условию задачи, точка касания $K$ делит гипотенузу $AB$ на отрезки длиной $m$ и $n$. Пусть $AK = m$ и $KB = n$. Тогда длина гипотенузы $c = AK + KB = m+n$.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: отрезки касательных от вершины до точек касания равны.

• Из вершины $A$: $AL = AK = m$.
• Из вершины $B$: $BM = BK = n$.

В прямоугольном треугольнике четырехугольник $CLOM$ является квадратом, так как его углы прямые ($∠C=90°$, $∠CLO=90°$, $∠CMO=90°$), а смежные стороны $OL$ и $OM$ равны радиусу $r$. Следовательно, $CL = CM = r$.

Теперь мы можем выразить длины катетов через $m$, $n$ и $r$:

• Катет $a = BC = BM + MC = n + r$.
• Катет $b = AC = AL + LC = m + r$.

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим выражения для $a$, $b$ и $c$:

$(n+r)^2 + (m+r)^2 = (m+n)^2$

Раскроем скобки:

$(n^2 + 2nr + r^2) + (m^2 + 2mr + r^2) = m^2 + 2mn + n^2$

Сгруппируем члены в левой части уравнения:

$m^2 + n^2 + 2mr + 2nr + 2r^2 = m^2 + n^2 + 2mn$

Вычтем $m^2 + n^2$ из обеих частей уравнения:

$2mr + 2nr + 2r^2 = 2mn$

Разделим обе части уравнения на 2:

$mr + nr + r^2 = mn$

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения относительно $r$:

$r^2 + (m+n)r - mn = 0$

Это квадратное уравнение для нахождения радиуса $r$. Решим его, используя формулу для корней квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

В нашем случае $a=1$, $b=(m+n)$, $c=-mn$.

$r = \frac{-(m+n) \pm \sqrt{(m+n)^2 - 4(1)(-mn)}}{2(1)}$

$r = \frac{-(m+n) \pm \sqrt{m^2 + 2mn + n^2 + 4mn}}{2}$

$r = \frac{-(m+n) \pm \sqrt{m^2 + 6mn + n^2}}{2}$

Поскольку радиус $r$ должен быть положительной величиной, мы выбираем корень со знаком плюс:

$r = \frac{-(m+n) + \sqrt{m^2 + 6mn + n^2}}{2}$

Ответ: $r = \frac{\sqrt{m^2 + 6mn + n^2} - (m+n)}{2}$.

2.38. Две равные и взаимно перпендикулярные хорды окружности в точке пересечения делятся на части длиной 10 см и 16 см. Найдите радиус окружности.

Пусть в окружности с центром $O$ и радиусом $R$ проведены две равные и взаимно перпендикулярные хорды $AB$ и $CD$, которые пересекаются в точке $P$.

По условию задачи, хорды в точке пересечения делятся на отрезки длиной 10 см и 16 см. Так как хорды равны, то длина каждой из них составляет $10 + 16 = 26$ см. То есть, $AB = CD = 26$ см.

Проведем из центра окружности $O$ перпендикуляры $OM$ и $ON$ к хордам $AB$ и $CD$ соответственно. Таким образом, $OM \perp AB$ и $ON \perp CD$.

Свойство окружности гласит, что перпендикуляр, опущенный из центра на хорду, делит эту хорду пополам. Следовательно, точка $M$ является серединой хорды $AB$, а точка $N$ — серединой хорды $CD$.

Найдем длины половин хорд:

$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{26}{2} = 13$ см.

$CN = ND = \frac{CD}{2} = \frac{26}{2} = 13$ см.

Также известно, что равные хорды равноудалены от центра окружности. Поскольку $AB = CD$, то и расстояния от центра до этих хорд равны: $OM = ON$.

Рассмотрим четырехугольник $OMPN$. В нем три угла прямые: $\angle OMP = 90^\circ$ (по построению), $\angle ONP = 90^\circ$ (по построению) и $\angle MPN = 90^\circ$ (так как хорды $AB$ и $CD$ взаимно перпендикулярны по условию). Следовательно, $OMPN$ является прямоугольником. А так как у него смежные стороны $OM$ и $ON$ равны, то $OMPN$ — квадрат.

Теперь найдем длину стороны этого квадрата. Точка $P$ делит хорду $AB$ на отрезки, пусть $AP = 10$ см и $PB = 16$ см. Расстояние $PM$ можно найти как разность длин отрезков $MB$ и $PB$ (или $AM$ и $AP$):

$PM = |MB - PB| = |13 - 16| = 3$ см.

Или, что то же самое:

$PM = |AM - AP| = |13 - 10| = 3$ см.

Так как $OMPN$ — квадрат, то все его стороны равны 3 см: $OM = ON = NP = PM = 3$ см.

Для нахождения радиуса $R$ рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMB$. Гипотенуза этого треугольника — радиус $OB = R$, а катеты — $OM$ (расстояние от центра до хорды) и $MB$ (половина длины хорды).

По теореме Пифагора:

$R^2 = OB^2 = OM^2 + MB^2$

Подставим известные значения:

$R^2 = 3^2 + 13^2$

$R^2 = 9 + 169$

$R^2 = 178$

$R = \sqrt{178}$ см.

Ответ: $\sqrt{178}$ см.

2.39. Диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны. Докажите, что суммы квадратов его противоположных сторон равны.

Пусть дан четырехугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию задачи, диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Это означает, что углы при пересечении диагоналей являются прямыми: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^\circ$.

Требуется доказать, что суммы квадратов длин его противоположных сторон равны. То есть, необходимо доказать равенство: $AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$.

Пересекающиеся диагонали делят четырехугольник на четыре прямоугольных треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$. Для каждого из этих треугольников мы можем применить теорему Пифагора, согласно которой квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

• Для прямоугольного треугольника $\triangle AOB$ (гипотенуза $AB$): $AB^2 = AO^2 + BO^2$
• Для прямоугольного треугольника $\triangle BOC$ (гипотенуза $BC$): $BC^2 = BO^2 + CO^2$
• Для прямоугольного треугольника $\triangle COD$ (гипотенуза $CD$): $CD^2 = CO^2 + DO^2$
• Для прямоугольного треугольника $\triangle DOA$ (гипотенуза $DA$): $DA^2 = DO^2 + AO^2$

Теперь составим сумму квадратов для одной пары противоположных сторон ($AB$ и $CD$), используя полученные выражения:

$AB^2 + CD^2 = (AO^2 + BO^2) + (CO^2 + DO^2)$

И для другой пары противоположных сторон ($BC$ и $DA$):

$BC^2 + DA^2 = (BO^2 + CO^2) + (DO^2 + AO^2)$

Перегруппируем слагаемые в правых частях обоих равенств, чтобы увидеть их структуру:

$AB^2 + CD^2 = AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2$

$BC^2 + DA^2 = AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2$

Правые части обоих выражений равны одной и той же величине — сумме квадратов длин четырех отрезков, на которые диагонали делятся точкой их пересечения. Следовательно, равны и левые части:

$AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2.40. В прямоугольном треугольнике один из углов равен среднему арифметическому двух других углов. Найдите катеты этого треугольника, если его гипотенуза равна $c$.

Пусть углы прямоугольного треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $90^\circ$. Известно, что сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, для прямоугольного треугольника сумма двух острых углов составляет $\alpha + \beta = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Согласно условию, один из углов равен среднему арифметическому двух других. Рассмотрим три возможных варианта:

1. Прямой угол ($90^\circ$) является средним арифметическим двух острых углов ($\alpha$ и $\beta$):
$90^\circ = \frac{\alpha + \beta}{2}$
Отсюда $\alpha + \beta = 180^\circ$. Это противоречит свойству острых углов прямоугольного треугольника, сумма которых равна $90^\circ$. Значит, этот вариант невозможен.

2. Один из острых углов, например $\alpha$, является средним арифметическим прямого угла и другого острого угла $\beta$:
$\alpha = \frac{\beta + 90^\circ}{2}$
Так как $\beta = 90^\circ - \alpha$, подставим это выражение в уравнение:
$\alpha = \frac{(90^\circ - \alpha) + 90^\circ}{2}$
$\alpha = \frac{180^\circ - \alpha}{2}$
$2\alpha = 180^\circ - \alpha$
$3\alpha = 180^\circ$
$\alpha = 60^\circ$
Тогда второй острый угол $\beta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
(Случай, когда угол $\beta$ является средним арифметическим, симметричен и даст тот же результат: углы $30^\circ$ и $60^\circ$).

Итак, мы имеем дело с прямоугольным треугольником, острые углы которого равны $30^\circ$ и $60^\circ$. Гипотенуза этого треугольника равна $c$. Нам нужно найти длины катетов. Обозначим катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, как $a$, а катет, лежащий напротив угла в $60^\circ$, как $b$.

Воспользуемся определениями синуса в прямоугольном треугольнике:
- Катет $a$, противолежащий углу $30^\circ$:
$a = c \cdot \sin(30^\circ) = c \cdot \frac{1}{2} = \frac{c}{2}$
- Катет $b$, противолежащий углу $60^\circ$:
$b = c \cdot \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{c\sqrt{3}}{2}$

Ответ: Катеты равны $\frac{c}{2}$ и $\frac{c\sqrt{3}}{2}$.