Страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.45. Через гипотенузу $c$ и острый угол $\alpha$ прямоугольного треугольника выразите катеты и второй острый угол.

Пусть дан прямоугольный треугольник, в котором $c$ — длина гипотенузы, а $\alpha$ — один из острых углов. Обозначим второй острый угол как $\beta$, катет, противолежащий углу $\alpha$, как $a$, а катет, прилежащий к углу $\alpha$, как $b$.

Второй острый угол

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Так как в прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$, то сумма двух острых углов составляет $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Отсюда, зная один острый угол $\alpha$, можно найти второй острый угол $\beta$:
$\beta = 90^\circ - \alpha$

Ответ: $90^\circ - \alpha$.

Катеты

Для нахождения длин катетов используются определения основных тригонометрических функций — синуса и косинуса.

Катет, противолежащий углу $\alpha$ (катет $a$):
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
$\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$
Из этой формулы выражаем катет $a$:
$a = c \cdot \sin(\alpha)$

Катет, прилежащий к углу $\alpha$ (катет $b$):
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
$\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$
Из этой формулы выражаем катет $b$:
$b = c \cdot \cos(\alpha)$

Ответ: Катет, противолежащий углу $\alpha$, равен $c \cdot \sin(\alpha)$; катет, прилежащий к углу $\alpha$, равен $c \cdot \cos(\alpha)$.

2.46. Основание прямоугольного равнобедренного треугольника равно $a$. Найдите боковую сторону.

В прямоугольном равнобедренном треугольнике две равные стороны — это катеты, а третья сторона, которая является основанием, — это гипотенуза.

Пусть боковая сторона (катет) равна $x$. Поскольку треугольник равнобедренный, второй катет также равен $x$. По условию, основание (гипотенуза) равно $a$.

Применим теорему Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$x^2 + x^2 = a^2$

Сложим слагаемые в левой части уравнения:

$2x^2 = a^2$

Выразим $x^2$:

$x^2 = \frac{a^2}{2}$

Теперь найдем $x$, извлекая квадратный корень. Поскольку длина стороны является положительной величиной, мы рассматриваем только арифметический корень:

$x = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:

$x = \frac{a \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

2.47. Тень от вертикально стоящего шеста, высота которого 7 дм, составляет 4 дм. Выразите в градусах высоту солнца над горизонтом (рис 2.22).

A

7 дм

C 4 дм B

$\beta$

Рис. 2.22

Решение

Высота солнца над горизонтом — это угол $\beta$ в прямоугольном треугольнике ABC, который образован вертикально стоящим шестом (катет AC), его тенью на земле (катет BC) и солнечным лучом (гипотенуза AB). Поскольку шест стоит вертикально, а тень лежит на горизонтальной поверхности, угол C прямой ($\angle C = 90^{\circ}$).

Из условия задачи нам известны длины двух катетов:
- Катет AC, противолежащий углу $\beta$, равен высоте шеста и составляет 7 дм.
- Катет BC, прилежащий к углу $\beta$, равен длине тени и составляет 4 дм.

Для нахождения угла, зная длины противолежащего и прилежащего катетов, используется тригонометрическая функция тангенс. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.
$\tan(\beta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AC}{BC}$

Подставим в формулу известные значения:
$\tan(\beta) = \frac{7}{4} = 1.75$

Чтобы найти величину угла $\beta$ в градусах, необходимо применить обратную тригонометрическую функцию — арктангенс:
$\beta = \arctan(1.75)$

С помощью калькулятора вычислим значение угла:
$\beta \approx 60.255^{\circ}$

Округлив результат до десятых долей градуса, получаем итоговое значение высоты солнца над горизонтом.

Ответ: $\approx 60.3^{\circ}$

2.48. Найдите неизвестные стороны и острые углы прямоугольного треугольника по следующим данным:

1) по двум катетам:

а) $a = 3, b = 4;$

б) $a = 9, b = 10;$

в) $a = 20, b = 21;$

г) $a = 11, b = 60;$

д) $a = 6, b = 8;$

е) $a = 5, b = 12.$

2) по гипотенузе и катету:

а) $c = 13, a = 5;$

б) $c = 25, a = 7;$

в) $c = 17, a = 8;$

г) $c = 85, a = 84.$

3) по гипотенузе и острому углу:

а) $c = 2, \alpha = 20^{\circ};$

б) $c = 25, \alpha = 50^{\circ}20';$

в) $c = 8, \alpha = 70^{\circ}36';$

г) $c = 16, \alpha = 76^{\circ}21'.$

4) по катету и противолежащему углу:

а) $a = 3, \alpha = 30^{\circ}27';$

б) $a = 5, \alpha = 40^{\circ}48';$

в) $a = 7, \alpha = 60^{\circ}35';$

г) $a = 9, \alpha = 68^{\circ}.$

В задачах ниже приняты стандартные обозначения для прямоугольного треугольника: $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза, $\alpha$ и $\beta$ — острые углы, противолежащие катетам $a$ и $b$ соответственно. Сумма острых углов $\alpha + \beta = 90^\circ$.

1) по двум катетам:

2) по гипотенузе и катету:

3) по гипотенузе и острому углу:

4) по катету и противолежащему углу:

2.49. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой c и углом $60^\circ$ найдите катет, противолежащий этому углу.

Пусть в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $c$, а один из острых углов равен $\alpha = 60^\circ$. Нам необходимо найти катет $a$, который лежит напротив этого угла.

Для нахождения неизвестного катета воспользуемся определением синуса острого угла в прямоугольном треугольнике. Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Запишем эту зависимость в виде формулы:
$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

Подставим наши значения в формулу:
$\sin(60^\circ) = \frac{a}{c}$

Теперь выразим из этого уравнения искомый катет $a$:
$a = c \cdot \sin(60^\circ)$

Значение синуса угла $60^\circ$ является табличной величиной в тригонометрии:
$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим это значение в нашу формулу для катета $a$:
$a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{c\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{c\sqrt{3}}{2}$

2.50. Определите знак разности:

1) $\sin 31^\circ - \sin 30^\circ$;

2) $\sin 26^\circ - \sin 27^\circ$;

3) $\cos 31^\circ - \cos 30^\circ$;

4) $\cos 26^\circ - \cos 27^\circ$.

1) $\sin 31^\circ - \sin 30^\circ$
Для определения знака разности воспользуемся свойствами тригонометрической функции $y = \sin(x)$. Все рассматриваемые углы находятся в первой координатной четверти, то есть в интервале от $0^\circ$ до $90^\circ$. На этом интервале функция синус является возрастающей. Это означает, что большему значению угла соответствует большее значение синуса. Поскольку $31^\circ > 30^\circ$, то из свойства возрастания функции синус следует, что $\sin(31^\circ) > \sin(30^\circ)$. Следовательно, разность $\sin(31^\circ) - \sin(30^\circ)$ является положительной.
Ответ: плюс (+).

2) $\sin 26^\circ - \sin 27^\circ$
Как и в предыдущем пункте, используем свойство возрастания функции $y = \sin(x)$ в первой четверти. Поскольку $26^\circ < 27^\circ$, то и значение синуса для меньшего угла будет меньше: $\sin(26^\circ) < \sin(27^\circ)$. Следовательно, при вычитании из меньшего числа большего мы получим отрицательный результат. Разность $\sin(26^\circ) - \sin(27^\circ)$ отрицательна.
Ответ: минус (−).

3) $\cos 31^\circ - \cos 30^\circ$
Для определения знака этой разности рассмотрим свойства функции $y = \cos(x)$. В первой координатной четверти (от $0^\circ$ до $90^\circ$) функция косинус является убывающей. Это означает, что большему значению угла соответствует меньшее значение косинуса. Поскольку $31^\circ > 30^\circ$, то из свойства убывания функции косинус следует, что $\cos(31^\circ) < \cos(30^\circ)$. Следовательно, разность $\cos(31^\circ) - \cos(30^\circ)$ является отрицательной.
Ответ: минус (−).

4) $\cos 26^\circ - \cos 27^\circ$
Используем свойство убывания функции $y = \cos(x)$ в первой четверти. Поскольку $26^\circ < 27^\circ$, то значение косинуса для меньшего угла будет больше: $\cos(26^\circ) > \cos(27^\circ)$. Следовательно, при вычитании из большего числа меньшего мы получим положительный результат. Разность $\cos(26^\circ) - \cos(27^\circ)$ положительна.
Ответ: плюс (+).

2.51. Найдите:

1) sin $ \alpha $, tg $ \alpha $ и ctg $ \alpha $, если cos $ \alpha = \frac{1}{2} $;

2) sin $ \alpha $, tg $ \alpha $ и ctg $ \alpha $, если cos $ \alpha = -\frac{2}{3} $;

3) cos $ \alpha $, tg $ \alpha $ и ctg $ \alpha $, если sin $ \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $;

4) cos $ \alpha $, tg $ \alpha $ и ctg $ \alpha $, если $ \frac{1}{4} $.

1) Для нахождения `$\sin \alpha$` воспользуемся основным тригонометрическим тождеством `$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$`. Поскольку `$\cos \alpha = \frac{1}{2}$`, имеем: `$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$`. Из этого следует, что `$\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$`. Теперь найдем `$\text{tg } \alpha$` и `$\text{ctg } \alpha$`: `$\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\pm\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \pm\sqrt{3}$`. `$\text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha} = \frac{1}{\pm\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$`. Так как не указан квадрант, в котором находится угол `$\alpha$`, мы получаем два возможных набора решений: один со знаками `+`, другой со знаками `-`. Ответ: `$\sin \alpha = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}, \text{ tg } \alpha = \pm\sqrt{3}, \text{ ctg } \alpha = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$`.

2) Аналогично предыдущему пункту, используем тождество `$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$`. Дано, что `$\cos \alpha = -\frac{2}{3}$`. `$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$`. Следовательно, `$\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{5}{9}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}$`. Найдем тангенс и котангенс: `$\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\pm\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = \mp\frac{\sqrt{5}}{2}$`. Обратите внимание, что знак тангенса противоположен знаку синуса, так как косинус отрицателен. `$\text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha} = \frac{1}{\mp\frac{\sqrt{5}}{2}} = \mp\frac{2}{\sqrt{5}} = \mp\frac{2\sqrt{5}}{5}$`. Ответ: `$\sin \alpha = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}, \text{ tg } \alpha = \mp\frac{\sqrt{5}}{2}, \text{ ctg } \alpha = \mp\frac{2\sqrt{5}}{5}$`.

3) В этом случае известно значение синуса `$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$`. Найдем `$\cos \alpha$` из основного тождества `$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$`. `$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$`. Отсюда `$\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$`. Теперь вычислим тангенс и котангенс: `$\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\pm\frac{1}{2}} = \pm\sqrt{3}$`. `$\text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha} = \frac{1}{\pm\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$`. Знак косинуса, тангенса и котангенса зависит от квадранта. Ответ: `$\cos \alpha = \pm\frac{1}{2}, \text{ tg } \alpha = \pm\sqrt{3}, \text{ ctg } \alpha = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$`.

4) Судя по расположению текста, в этом пункте дано значение котангенса. Будем считать, что `$\text{ctg } \alpha = \frac{1}{4}$`. Требуется найти `$\cos \alpha, \text{tg } \alpha, \text{ctg } \alpha$`. Значение `$\text{ctg } \alpha$` уже дано. Найдем `$\text{tg } \alpha$`: `$\text{tg } \alpha = \frac{1}{\text{ctg } \alpha} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$`. Для нахождения `$\cos \alpha$` используем тождество `$1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$`: `$\frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + 4^2 = 1 + 16 = 17$`. `$\cos^2 \alpha = \frac{1}{17}$`, следовательно `$\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{17}} = \pm\frac{1}{\sqrt{17}} = \pm\frac{\sqrt{17}}{17}$`. Ответ: `$\cos \alpha = \pm\frac{\sqrt{17}}{17}, \text{ tg } \alpha = 4, \text{ ctg } \alpha = \frac{1}{4}$`.

2.52. Высота равнобедренного треугольника равна 12,4 м, а основание – 40,6 м. Найдите углы и боковую сторону треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Высота $BH$, проведенная к основанию, по условию равна $h = 12,4$ м, а основание $a = AC = 40,6$ м.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, высота $BH$ делит треугольник $ABC$ на два равных прямоугольных треугольника ($ABH$ и $CBH$), а основание $AC$ делит пополам в точке $H$.

Найдем половину основания, которая будет являться катетом $AH$ в прямоугольном треугольнике $ABH$: $AH = \frac{AC}{2} = \frac{40,6}{2} = 20,3$ м.

Боковая сторона

Боковую сторону $AB$ можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABH$, где $AB$ является гипотенузой, а $AH$ и $BH$ — катетами. $AB^2 = AH^2 + BH^2$. Подставим известные значения: $AB^2 = (20,3)^2 + (12,4)^2 = 412,09 + 153,76 = 565,85$. $AB = \sqrt{565,85} \approx 23,7876$ м. Округляя результат до сотых, получаем $AB \approx 23,79$ м.

Ответ: боковая сторона треугольника равна примерно $23,79$ м.

Углы

Углы при основании равнобедренного треугольника равны ($\angle BAC = \angle BCA$). Найдем угол $\angle BAC$ из прямоугольного треугольника $ABH$. Тангенс угла равен отношению противолежащего катета ($BH$) к прилежащему ($AH$): $\text{tg}(\angle BAC) = \frac{BH}{AH} = \frac{12,4}{20,3} \approx 0,6108$. Найдем сам угол через арктангенс: $\angle BAC = \text{arctg}\left(\frac{12,4}{20,3}\right) \approx 31,422^\circ$.

Переведем десятичную часть градуса в минуты: $0,422^\circ \times 60'/\text{град} \approx 25,32'$, что округленно составляет $25'$. Таким образом, углы при основании: $\angle BAC = \angle BCA \approx 31^\circ 25'$.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Угол при вершине $\angle ABC$ равен: $\angle ABC = 180^\circ - 2 \cdot \angle BAC \approx 180^\circ - 2 \cdot (31^\circ 25') = 180^\circ - 62^\circ 50'$. Для удобства вычислений представим $180^\circ$ как $179^\circ 60'$: $\angle ABC = 179^\circ 60' - 62^\circ 50' = 117^\circ 10'$.

Ответ: углы при основании равны примерно $31^\circ 25'$ каждый, а угол при вершине равен примерно $117^\circ 10'$.