Страница 70 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что вы понимаете под решением прямоугольных треугольников?

2. Сколько независимых элементов нужно задать, чтобы однозначно определить прямоугольный треугольник? Поясните ответ.

3. На сколько этапов делится процесс решения задач на построение? Поясните суть каждого из этих этапов.

1. Под решением прямоугольных треугольников понимают процесс нахождения всех его неизвестных элементов (трех сторон и двух острых углов) по каким-либо известным элементам. Поскольку один угол в прямоугольном треугольнике всегда известен и равен $90^\circ$, для решения задачи достаточно знать еще два элемента (из которых хотя бы один — сторона).

Для нахождения неизвестных элементов используются:

• Теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.
• Тригонометрические соотношения: синус, косинус и тангенс острого угла. Например, для острого угла $\alpha$, противолежащего катету $a$ и прилежащего к катету $b$:
  • $\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$
  • $\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$
  • $\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$
• Свойство острых углов прямоугольного треугольника: их сумма равна $90^\circ$.

Ответ: Решение прямоугольных треугольников — это нахождение всех его шести элементов (3 сторон и 3 углов) по двум известным элементам (помимо прямого угла).

2. Чтобы однозначно определить прямоугольный треугольник, нужно задать два независимых элемента, помимо прямого угла. Один элемент — прямой угол — уже известен по определению прямоугольного треугольника. Для однозначного определения любой треугольной фигуры (по признакам равенства треугольников) необходимо знать три элемента. Так как один угол нам уже дан ($90^\circ$), то для полной определенности достаточно задать еще два.

Возможные комбинации двух элементов:

• Два катета.
• Катет и гипотенуза.
• Катет и один из острых углов (прилежащий или противолежащий).
• Гипотенуза и один из острых углов.

Задание двух углов (помимо прямого) не определяет треугольник однозначно, так как третий угол вычисляется автоматически, но стороны остаются неизвестными. Это задает только форму, но не размер треугольника (подобные треугольники).

Ответ: Нужно задать два независимых элемента (из которых хотя бы один — сторона), так как третий элемент — прямой угол — уже известен по определению.

3. Процесс решения задач на построение с помощью циркуля и линейки традиционно делится на четыре этапа. Они обеспечивают полноту и строгость решения.

Суть каждого из этапов:

1. Анализ. Это подготовительный, мыслительный этап. Предполагается, что искомая фигура уже построена. Создается чертеж-эскиз, на котором устанавливаются связи между данными в условии задачи элементами и теми, которые нужно построить. Цель анализа — найти ключевую идею и составить план построения.
2. Построение. Это практический этап. На основе плана, разработанного на этапе анализа, выполняется последовательность элементарных построений (проведение прямой через две точки, построение окружности и т.д.) с помощью циркуля и линейки. В результате должна получиться фигура, являющаяся решением задачи.
3. Доказательство. На этом этапе необходимо строго доказать, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем условиям, указанным в задаче. То есть нужно доказать, что это именно та фигура, которую требовалось найти.
4. Исследование. Это завершающий этап, на котором определяется, всегда ли задача имеет решение при заданных данных и сколько решений она может иметь. Выясняются условия существования и единственности решения (или отсутствия решений, или наличия нескольких/бесконечного множества решений).

Ответ: Процесс решения задач на построение делится на четыре этапа: анализ, построение, доказательство и исследование.

Практическая работа

1. Покажите, как находят середину данного отрезка.

2. Постройте биссектрису данного угла.

3. Постройте прямую, проходящую через данную точку параллельно данной прямой.

4. Через точку вне окружности проведите касательную к этой окружности.

5. По трем заданным сторонам постройте треугольник. При каком условии задача имеет решение?

1. Покажите, как находят середину данного отрезка.
Для нахождения середины отрезка с помощью циркуля и линейки (без делений) необходимо выполнить следующие шаги:
1. Пусть дан отрезок AB. Установим раствор циркуля на радиус R, который заведомо больше половины длины отрезка AB.
2. Из конца отрезка, точки A, проводим дугу окружности радиуса R.
3. Не меняя раствора циркуля, из другого конца отрезка, точки B, проводим вторую дугу окружности радиуса R.
4. Две построенные дуги пересекутся в двух точках, назовем их C и D.
5. С помощью линейки проводим прямую через точки C и D.
6. Точка M, в которой прямая CD пересекает отрезок AB, и является его серединой. Это следует из того, что точки C и D равноудалены от A и B, а значит, прямая CD является серединным перпендикуляром к отрезку AB.

Ответ: Середину отрезка находят путем построения двух пересекающихся окружностей одинакового радиуса (большего половины отрезка) с центрами в концах отрезка и проведения прямой через точки их пересечения. Точка пересечения этой прямой с исходным отрезком и есть его середина.

2. Постройте биссектрису данного угла.
Для построения биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки нужно:
1. Пусть дан угол с вершиной в точке O. Установим циркуль на произвольный радиус.
2. Из вершины угла O проведем дугу, которая пересечет стороны угла в двух точках. Назовем их A и B.
3. Теперь из точек A и B проведем две дуги одинакового (не обязательно того же, что и в шаге 2) радиуса так, чтобы они пересеклись внутри угла. Важно, чтобы этот радиус был достаточным для пересечения дуг.
4. Точку пересечения этих двух дуг назовем C.
5. С помощью линейки проведем луч из вершины O через точку C.
6. Луч OC является биссектрисой данного угла, так как он делит угол на два равных угла. Это следует из равенства треугольников OAC и OBC (по трем сторонам).

Ответ: Биссектриса строится путем проведения луча из вершины угла через точку пересечения двух вспомогательных дуг, проведенных из точек на сторонах угла, равноудаленных от вершины.

3. Постройте прямую, проходящую через данную точку параллельно данной прямой.
Для построения прямой, параллельной данной, через точку вне её, можно использовать метод построения ромба:
1. Пусть дана прямая l и точка P, не лежащая на этой прямой.
2. Выберем на прямой l произвольную точку A.
3. Установим раствор циркуля равным длине отрезка AP.
4. Проведем окружность (или дугу) с центром в точке P радиусом AP.
5. Не меняя раствора циркуля, проведем окружность (или дугу) с центром в точке A, которая пересечет прямую l в некоторой точке B.
6. С тем же раствором циркуля (равным AP) проведем дугу из точки B так, чтобы она пересекла дугу, построенную в шаге 4. Точку пересечения назовем Q.
7. Проведем прямую через точки P и Q. Эта прямая будет параллельна прямой l. Построение основано на свойстве ромба: фигура APQB является ромбом, так как все ее стороны равны (AP = AB = BQ = PQ), а у ромба противоположные стороны параллельны.

Ответ: Прямая, параллельная данной, строится путем создания ромба, где одна из вершин — данная точка, а две другие лежат на данной прямой. Искомая прямая проходит через данную точку и четвертую вершину ромба.

4. Через точку вне окружности проведите касательную к этой окружности.
Чтобы провести касательную к окружности из внешней точки, необходимо:
1. Пусть дана окружность с центром в точке O и точка P, лежащая вне этой окружности.
2. Соединим точку P с центром окружности O, получив отрезок OP.
3. Найдем середину отрезка OP. Назовем эту точку M. (Для этого используется построение из пункта 1).
4. Построим новую окружность (или дугу) с центром в точке M и радиусом, равным длине отрезка OM (или MP).
5. Эта новая окружность пересечет исходную окружность в двух точках. Назовем их T₁ и T₂.
6. Проведем прямые через точку P и каждую из точек пересечения: PT₁ и PT₂.
7. Прямые PT₁ и PT₂ являются касательными к данной окружности. Это верно, так как углы OT₁P и OT₂P вписаны во вторую окружность и опираются на ее диаметр OP, следовательно, они прямые ($90^\circ$). Прямая, перпендикулярная радиусу в его точке на окружности, является касательной.

Ответ: Касательная строится путем нахождения точек касания. Эти точки являются пересечением данной окружности со вспомогательной окружностью, построенной на отрезке между данной точкой и центром исходной окружности как на диаметре.

5. По трем заданным сторонам постройте треугольник. При каком условии задача имеет решение?
Построение треугольника по трем сторонам a, b, c:
1. С помощью линейки проводим прямую и откладываем на ней отрезок AB, равный одной из сторон, например, c.
2. Из точки A как из центра проводим дугу окружности радиусом, равным длине второй стороны, b.
3. Из точки B как из центра проводим дугу окружности радиусом, равным длине третьей стороны, a.
4. Точка C, в которой пересекаются эти две дуги, будет третьей вершиной искомого треугольника. (Может быть две таких точки, симметричных относительно прямой AB, но они определяют равные треугольники).
5. Соединяем точку C с точками A и B. Треугольник ABC построен.

Условие, при котором задача имеет решение:
Задача построения треугольника по трем сторонам имеет решение тогда и только тогда, когда выполняется неравенство треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. Для сторон a, b, c должны одновременно выполняться три условия:
$a + b > c$
$a + c > b$
$b + c > a$
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется (например, сумма двух сторон равна или меньше третьей), то дуги, построенные в шагах 2 и 3, не пересекутся (или пересекутся на отрезке AB), и треугольник построить будет невозможно.

Ответ: Треугольник строится откладыванием одной стороны и нахождением третьей вершины как точки пересечения дуг окружностей с центрами в концах отложенной стороны и радиусами, равными двум другим сторонам. Задача имеет решение, если выполняется неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон больше третьей стороны.