Вопросы, страница 70 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что вы понимаете под решением прямоугольных треугольников?

2. Сколько независимых элементов нужно задать, чтобы однозначно определить прямоугольный треугольник? Поясните ответ.

3. На сколько этапов делится процесс решения задач на построение? Поясните суть каждого из этих этапов.

1. Под решением прямоугольных треугольников понимают процесс нахождения всех его неизвестных элементов (трех сторон и двух острых углов) по каким-либо известным элементам. Поскольку один угол в прямоугольном треугольнике всегда известен и равен $90^\circ$, для решения задачи достаточно знать еще два элемента (из которых хотя бы один — сторона).

Для нахождения неизвестных элементов используются:

• Теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.
• Тригонометрические соотношения: синус, косинус и тангенс острого угла. Например, для острого угла $\alpha$, противолежащего катету $a$ и прилежащего к катету $b$:
  • $\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$
  • $\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$
  • $\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$
• Свойство острых углов прямоугольного треугольника: их сумма равна $90^\circ$.

Ответ: Решение прямоугольных треугольников — это нахождение всех его шести элементов (3 сторон и 3 углов) по двум известным элементам (помимо прямого угла).

2. Чтобы однозначно определить прямоугольный треугольник, нужно задать два независимых элемента, помимо прямого угла. Один элемент — прямой угол — уже известен по определению прямоугольного треугольника. Для однозначного определения любой треугольной фигуры (по признакам равенства треугольников) необходимо знать три элемента. Так как один угол нам уже дан ($90^\circ$), то для полной определенности достаточно задать еще два.

Возможные комбинации двух элементов:

• Два катета.
• Катет и гипотенуза.
• Катет и один из острых углов (прилежащий или противолежащий).
• Гипотенуза и один из острых углов.

Задание двух углов (помимо прямого) не определяет треугольник однозначно, так как третий угол вычисляется автоматически, но стороны остаются неизвестными. Это задает только форму, но не размер треугольника (подобные треугольники).

Ответ: Нужно задать два независимых элемента (из которых хотя бы один — сторона), так как третий элемент — прямой угол — уже известен по определению.

3. Процесс решения задач на построение с помощью циркуля и линейки традиционно делится на четыре этапа. Они обеспечивают полноту и строгость решения.

Суть каждого из этапов:

1. Анализ. Это подготовительный, мыслительный этап. Предполагается, что искомая фигура уже построена. Создается чертеж-эскиз, на котором устанавливаются связи между данными в условии задачи элементами и теми, которые нужно построить. Цель анализа — найти ключевую идею и составить план построения.
2. Построение. Это практический этап. На основе плана, разработанного на этапе анализа, выполняется последовательность элементарных построений (проведение прямой через две точки, построение окружности и т.д.) с помощью циркуля и линейки. В результате должна получиться фигура, являющаяся решением задачи.
3. Доказательство. На этом этапе необходимо строго доказать, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем условиям, указанным в задаче. То есть нужно доказать, что это именно та фигура, которую требовалось найти.
4. Исследование. Это завершающий этап, на котором определяется, всегда ли задача имеет решение при заданных данных и сколько решений она может иметь. Выясняются условия существования и единственности решения (или отсутствия решений, или наличия нескольких/бесконечного множества решений).

Ответ: Процесс решения задач на построение делится на четыре этапа: анализ, построение, доказательство и исследование.