Номер 2.75, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.75. Даны катет $a$ и гипотенуза $c$ с прямоугольного треугольника.

Найдите второй катет и углы треугольника.

1) $a = 8 \text{ см}$, $c = 10 \text{ см}$;

2) $a = 5 \text{ см}$, $c = 13 \text{ см}$;

3) $a = 6 \text{ см}$, $c = 9 \text{ см}$.

В задачах 2.76 – 2.80 необходимые построения нужно выполнять на листе А4, предварительно объединившись в группы.

Для нахождения неизвестного катета и углов прямоугольного треугольника воспользуемся теоремой Пифагора и тригонометрическими соотношениями.Пусть $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Тогда $a^2 + b^2 = c^2$. Отсюда второй катет $b = \sqrt{c^2 - a^2}$.Острые углы треугольника, $\alpha$ (противолежащий катету $a$) и $\beta$ (противолежащий катету $b$), можно найти из соотношений $\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$ и $\beta = 90^\circ - \alpha$. Один из углов по определению равен $90^\circ$.

1) a = 8 см, c = 10 см;

Находим второй катет $b$ по теореме Пифагора:
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

Находим острые углы. Угол $\alpha$, противолежащий катету $a$:
$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{8}{10} = 0.8$.
$\alpha = \arcsin(0.8) \approx 53.1^\circ$.
Второй острый угол $\beta$ равен:
$\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 53.1^\circ = 36.9^\circ$.

Ответ: второй катет равен 6 см, углы треугольника примерно равны $53.1^\circ$, $36.9^\circ$ и $90^\circ$.

2) a = 5 см, c = 13 см;

Находим второй катет $b$ по теореме Пифагора:
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Находим острые углы. Угол $\alpha$, противолежащий катету $a$:
$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{5}{13}$.
$\alpha = \arcsin(\frac{5}{13}) \approx 22.6^\circ$.
Второй острый угол $\beta$ равен:
$\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 22.6^\circ = 67.4^\circ$.

Ответ: второй катет равен 12 см, углы треугольника примерно равны $22.6^\circ$, $67.4^\circ$ и $90^\circ$.

3) a = 6 см, c = 9 см.

Находим второй катет $b$ по теореме Пифагора:
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{9^2 - 6^2} = \sqrt{81 - 36} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см.
Приближенное значение $b \approx 6.71$ см.

Находим острые углы. Угол $\alpha$, противолежащий катету $a$:
$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
$\alpha = \arcsin(\frac{2}{3}) \approx 41.8^\circ$.
Второй острый угол $\beta$ равен:
$\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 41.8^\circ = 48.2^\circ$.

Ответ: второй катет равен $3\sqrt{5}$ см (примерно 6.71 см), углы треугольника примерно равны $41.8^\circ$, $48.2^\circ$ и $90^\circ$.