Номер 2.81, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.81. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе $c$ и проведенной к ней высоте $h_c$ (рис. 2.31).

Рис. 2.31

Для решения задачи построения прямоугольного треугольника по гипотенузе $c$ и высоте $h_c$, проведенной к гипотенузе, разобьем процесс на стандартные для задач на построение этапы: анализ, построение, доказательство и исследование.

Предположим, что искомый прямоугольный треугольник $ABC$ построен. Пусть $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза $AB = c$, а высота $CH$, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, имеет длину $h_c$.

Ключевым свойством прямоугольного треугольника является то, что вершина прямого угла лежит на окружности, диаметром которой является гипотенуза. Это следует из того факта, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой. Таким образом, точка $C$ должна лежать на окружности с диаметром $AB$. Центр этой окружности — середина гипотенузы $AB$, точка $O$, а радиус равен $R = c/2$.

Второе условие связано с высотой. Вершина $C$ удалена от прямой, содержащей гипотенузу $AB$, на расстояние, равное длине высоты $h_c$. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, — это две прямые, параллельные данной.

Следовательно, искомая вершина $C$ является точкой пересечения этих двух геометрических мест: окружности с диаметром $AB$ и прямой, параллельной $AB$ и находящейся на расстоянии $h_c$ от нее.

Выполним построение с помощью циркуля и линейки, имея два отрезка: $c$ и $h_c$.

1. На произвольной прямой отложим отрезок $AB$, равный по длине гипотенузе $c$.
2. Найдем середину отрезка $AB$. Для этого построим его серединный перпендикуляр. Обозначим середину как точку $O$.
3. Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA = c/2$.
4. Теперь построим прямую, параллельную $AB$ и отстоящую от нее на расстояние $h_c$. Для этого:
   • Восставим перпендикуляр к прямой $AB$ в любой ее точке (удобнее всего в точке $O$).
   • На этом перпендикуляре от точки $O$ отложим отрезок длиной $h_c$. Пусть его конец — точка $P$.
   • Через точку $P$ проведем прямую $l$, перпендикулярную отрезку $OP$. По построению, прямая $l$ будет параллельна $AB$.
5. Прямая $l$ пересечет окружность в одной или двух точках (если решение существует). Обозначим любую из этих точек пересечения как $C$.
6. Соединим точку $C$ с точками $A$ и $B$ отрезками.

Треугольник $ABC$ является искомым.

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• Сторона $AB$ по построению равна отрезку $c$.
• Вершина $C$ лежит на окружности с диаметром $AB$. Следовательно, угол $\angle ACB$, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Это означает, что $ABC$ — прямоугольный треугольник, а $AB$ — его гипотенуза.
• Вершина $C$ лежит на прямой $l$, которая по построению параллельна прямой $AB$ и находится на расстоянии $h_c$ от нее. Следовательно, расстояние от точки $C$ до прямой $AB$, то есть высота, проведенная к гипотенузе, равна $h_c$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Задача имеет решение только в том случае, если построенные на шагах 3 и 4 окружность и прямая $l$ имеют хотя бы одну общую точку. Это зависит от соотношения между радиусом окружности ($R=c/2$) и расстоянием от ее центра до прямой $l$ (которое равно $h_c$).

• Если $h_c > c/2$, то расстояние от центра до прямой больше радиуса. Прямая и окружность не пересекаются, и задача не имеет решений.
• Если $h_c = c/2$, прямая касается окружности в одной точке. Эта точка и будет вершиной $C$. В этом случае существует единственное решение (треугольник будет равнобедренным, так как высота к гипотенузе равна медиане).
• Если $h_c < c/2$, прямая пересекает окружность в двух точках $C_1$ и $C_2$. Мы получаем два треугольника: $ABC_1$ и $ABC_2$. Эти треугольники симметричны относительно серединного перпендикуляра к $AB$ и, следовательно, равны. Таким образом, задача имеет одно уникальное решение (с точностью до конгруэнтности).

Ответ: Задача имеет решение при условии, что высота к гипотенузе не превышает половины гипотенузы, то есть $h_c \le c/2$. Алгоритм построения описан выше и заключается в нахождении вершины прямого угла как точки пересечения окружности, построенной на гипотенузе как на диаметре, и прямой, параллельной гипотенузе и отстоящей от нее на расстояние, равное высоте.