Номер 2.87, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.87. Если $r$ – радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$, то докажите, что $r = \frac{1}{2}(a+b-c)$.

2.87. Для доказательства данной формулы рассмотрим прямоугольный треугольник и вписанную в него окружность с точки зрения геометрии.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Длины катетов обозначим как $BC = a$ и $AC = b$, а длину гипотенузы — $AB = c$.

Пусть в этот треугольник вписана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$. Обозначим точки касания окружности со сторонами $BC$, $AC$ и $AB$ как $M$, $K$ и $N$ соответственно.

Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам. Следовательно, $OM \perp BC$ и $OK \perp AC$. Рассмотрим четырехугольник $OKCM$. Углы $\angle C$, $\angle OMC$ и $\angle OKC$ в нем прямые ($90^\circ$). Это означает, что $OKCM$ — прямоугольник. Поскольку его смежные стороны $OK$ и $OM$ равны радиусу вписанной окружности ($OK = OM = r$), этот прямоугольник является квадратом. Таким образом, длины отрезков $CK$ и $CM$ равны радиусу $r$, то есть $CK = CM = r$.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных из одной вершины к окружности: длины отрезков касательных от вершины до точек касания равны. Для вершины $A$ имеем $AK = AN$. Для вершины $B$ имеем $BM = BN$.

Теперь выразим длины катетов через полученные отрезки: Катет $a$ равен $BC = BM + MC$. Так как $MC = r$, получаем $a = BM + r$, откуда $BM = a - r$. Катет $b$ равен $AC = AK + KC$. Так как $KC = r$, получаем $b = AK + r$, откуда $AK = b - r$.

Длина гипотенузы $c$ равна сумме длин отрезков $AN$ и $NB$: $c = AB = AN + NB$. Заменим $AN$ на равный ему отрезок $AK$, а $NB$ на равный ему отрезок $BM$: $c = AK + BM$.

Подставим найденные выше выражения для $AK$ и $BM$: $c = (b - r) + (a - r)$.

Теперь решим полученное уравнение относительно $r$: $c = a + b - 2r$. Перенесем $2r$ в левую часть, а $c$ в правую: $2r = a + b - c$. Разделим обе части уравнения на 2: $r = \frac{1}{2}(a + b - c)$.

Таким образом, мы доказали, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, действительно равен половине разности суммы катетов и гипотенузы.

Ответ: Что и требовалось доказать.