Номер 2.83, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.83. Постройте прямоугольный треугольник, заданный в предыдущей задаче.

Поскольку условие задачи 2.83 отсылает к задаче 2.82, в которой рассматриваются три случая построения прямоугольного треугольника, приведём решения для каждого из них.

а)

Построение прямоугольного треугольника по двум катетам, длины которых равны данным отрезкам $a$ и $b$.

Построение:

1. Проведём произвольную прямую и отметим на ней точку $C$.
2. Построим прямую, проходящую через точку $C$ и перпендикулярную исходной прямой. Для этого с помощью циркуля построим окружность с центром в $C$ произвольного радиуса, которая пересечёт прямую в двух точках. Затем из этих двух точек как из центров проведём две дуги одинакового радиуса (большего, чем радиус первой окружности) до их пересечения. Прямая, проведённая через точку $C$ и точку пересечения дуг, будет перпендикулярна исходной прямой. Мы получили прямой угол с вершиной $C$.
3. На одной стороне прямого угла отложим от вершины $C$ отрезок $CB$, равный катету $a$.
4. На другой стороне прямого угла отложим от вершины $C$ отрезок $CA$, равный катету $b$.
5. Соединим точки $A$ и $B$ отрезком.

Доказательство: Полученный треугольник $ABC$ является прямоугольным, так как $\angle C = 90^\circ$ по построению. Его катеты $CB$ и $CA$ равны данным отрезкам $a$ и $b$ соответственно. Следовательно, треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ построен.

б)

Построение прямоугольного треугольника по катету $a$ и гипотенузе $c$ (где $c > a$).

Построение:

1. Построим прямой угол с вершиной $C$ (как описано в пункте а)).
2. На одной из сторон угла отложим от вершины $C$ отрезок $CB$, равный данному катету $a$.
3. Проведём окружность с центром в точке $B$ и радиусом, равным данной гипотенузе $c$.
4. Эта окружность пересечёт вторую сторону прямого угла в некоторой точке. Обозначим эту точку $A$.
5. Соединим точки $A$ и $B$ отрезком.

Доказательство: Полученный треугольник $ABC$ является прямоугольным, так как $\angle C = 90^\circ$ по построению. Катет $CB$ равен $a$ по построению. Сторона $AB$ является радиусом окружности с центром в $B$, поэтому её длина равна $c$. Следовательно, треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Прямоугольный треугольник с катетом $a$ и гипотенузой $c$ построен.

в)

Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе $c$ и прилежащему к ней острому углу $\alpha$.

Построение:

1. Проведём произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AB$, равный данной гипотенузе $c$.
2. Найдём середину отрезка $AB$. Для этого построим две пересекающиеся дуги окружностей равного радиуса (больше половины длины $AB$) с центрами в точках $A$ и $B$. Прямая, проходящая через точки пересечения этих дуг, пересечёт отрезок $AB$ в его середине. Обозначим середину буквой $O$.
3. Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OA$ (или $OB$). Отрезок $AB$ будет являться диаметром этой окружности.
4. От луча $AB$ в точке $A$ отложим угол, равный данному углу $\alpha$. Для этого построим копию угла $\alpha$ с вершиной в точке $A$.
5. Вторая сторона построенного угла пересечёт окружность в некоторой точке. Обозначим эту точку $C$.
6. Соединим точки $C$ и $B$ отрезком.

Доказательство: В полученном треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна $c$ по построению. Угол $\angle BAC$ равен $\alpha$ по построению. Угол $\angle ACB$ является вписанным в окружность и опирается на её диаметр $AB$, следовательно, $\angle ACB = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $ABC$ — искомый прямоугольный треугольник.

Ответ: Прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$ построен.