Номер 2.80, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.80. Постройте треугольник из задачи 2.75.

Задача состоит в построении треугольника $ABC$ по трём известным элементам: высоте $h_a$, проведенной из вершины $A$, и медианам $m_b$ и $m_c$, проведенным из вершин $B$ и $C$ соответственно.

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $h_a$ — это длина высоты $AH_a$, опущенной из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $BC$. Пусть $m_b$ и $m_c$ — это длины медиан $BB'$ и $CC'$ соответственно. Медианы пересекаются в одной точке $M$ (центроиде треугольника), которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, мы имеем следующие соотношения:

• $BM = \frac{2}{3}m_b$
• $CM = \frac{2}{3}m_c$

Пусть $A'$ — середина стороны $BC$. Точка $M$ лежит на медиане $AA'$. Расстояние от центроида $M$ до прямой $BC$ составляет одну треть от высоты $h_a$. То есть, если прямая $BC$ лежит на некоторой прямой $l$, то точка $M$ будет расположена на прямой $l_M$, параллельной $l$ и находящейся на расстоянии $\frac{1}{3}h_a$ от нее.

Рассмотрим точку $D$, симметричную точке $M$ относительно точки $A'$. Поскольку $A'$ является серединой отрезка $MD$ и серединой отрезка $BC$, четырехугольник $BMCD$ — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно:

• $CD = BM = \frac{2}{3}m_b$
• $BD = CM = \frac{2}{3}m_c$

Точка $D$, будучи симметричной $M$ относительно $A'$ на прямой $l$, будет находиться по другую сторону от прямой $l$ и на том же расстоянии, что и $M$, то есть на расстоянии $\frac{1}{3}h_a$ от $l$.

Это наблюдение позволяет нам разработать план построения. Мы можем построить точки $B, C, D$, зная длины сторон $CD$, $BD$ и расположение точек на параллельных прямых. Найдя $B$ и $C$, мы легко найдем их середину $A'$, затем точку $M$, и, наконец, вершину $A$.

1. По данным отрезкам $h_a, m_b, m_c$ строим с помощью циркуля и линейки отрезки длиной $d_M = \frac{1}{3}h_a$, $d_b = \frac{2}{3}m_b$ и $d_c = \frac{2}{3}m_c$. (Для построения трети отрезка используется теорема Фалеса).
2. Проводим произвольную прямую $l$, на которой будет лежать сторона $BC$.
3. Строим прямую $l_D$, параллельную прямой $l$ и находящуюся на расстоянии $d_M = \frac{1}{3}h_a$ от нее.
4. Выбираем на прямой $l$ произвольную точку $C$.
5. Строим окружность с центром в точке $C$ и радиусом $d_b = \frac{2}{3}m_b$. Точку пересечения этой окружности с прямой $l_D$ обозначаем как $D$. (Если пересечения нет, задача не имеет решения).
6. Строим окружность с центром в точке $D$ и радиусом $d_c = \frac{2}{3}m_c$. Точку пересечения этой окружности с прямой $l$ обозначаем как $B$. (Если пересечения нет, задача не имеет решения).
7. Мы получили сторону $BC$ искомого треугольника. Находим ее середину, точку $A'$.
8. Строим точку $M$, которая симметрична точке $D$ относительно точки $A'$. Для этого проводим прямую через $D$ и $A'$ и откладываем на ней за точкой $A'$ отрезок $A'M$, равный $DA'$.
9. Проводим луч $A'M$.
10. На этом луче от точки $A'$ откладываем отрезок $A'A = 3 \cdot A'M$. Точка $A$ является третьей вершиной искомого треугольника.
11. Треугольник $ABC$ построен.

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет условиям задачи.

1. Высота из вершины A: По построению, точка $A'$ лежит на прямой $l$. Точка $M$ симметрична $D$ относительно $A'$, а $D$ лежит на прямой $l_D$ на расстоянии $\frac{1}{3}h_a$ от $l$. Следовательно, $M$ лежит на прямой, параллельной $l$, по другую сторону от $l_D$ и на том же расстоянии $\frac{1}{3}h_a$ от $l$. Точка $A$ строится на луче $A'M$ так, что $A'A=3A'M$. По теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия), расстояние от точки $A$ до прямой $l$ будет в 3 раза больше расстояния от $M$ до $l$, то есть $3 \cdot \frac{h_a}{3} = h_a$. Таким образом, высота из $A$ равна $h_a$.

2. Медиана из вершины B: По построению, $A'$ — середина $BC$, а $M$ лежит на продолжении $A'A$ так, что $AM = 2MA'$. Это означает, что $AA'$ — медиана, а $M$ — центроид треугольника $ABC$. По построению $BMCD$ — параллелограмм, поэтому $BM = CD$. Длина $CD$ была построена равной $\frac{2}{3}m_b$. Следовательно, $BM = \frac{2}{3}m_b$. Поскольку $M$ — центроид, полная длина медианы из вершины $B$ равна $\frac{3}{2}BM = \frac{3}{2} \cdot (\frac{2}{3}m_b) = m_b$.

3. Медиана из вершины C: Аналогично, в параллелограмме $BMCD$ имеем $CM = BD$. Длина $BD$ была построена равной $\frac{2}{3}m_c$. Следовательно, $CM = \frac{2}{3}m_c$. Поскольку $M$ — центроид, полная длина медианы из вершины $C$ равна $\frac{3}{2}CM = \frac{3}{2} \cdot (\frac{2}{3}m_c) = m_c$.

Все условия задачи выполнены.

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда все шаги построения выполнимы.

1. Для существования точки $D$ (шаг 5) необходимо, чтобы окружность с центром $C$ и радиусом $\frac{2}{3}m_b$ пересекала прямую $l_D$. Расстояние от точки $C$ до прямой $l_D$ равно $\frac{h_a}{3}$. Следовательно, должно выполняться условие: $\frac{2}{3}m_b \ge \frac{h_a}{3}$, что эквивалентно $2m_b \ge h_a$.

2. Для существования точки $B$ (шаг 6) необходимо, чтобы окружность с центром $D$ и радиусом $\frac{2}{3}m_c$ пересекала прямую $l$. Расстояние от точки $D$ до прямой $l$ равно $\frac{h_a}{3}$. Следовательно, должно выполняться условие: $\frac{2}{3}m_c \ge \frac{h_a}{3}$, что эквивалентно $2m_c \ge h_a$.

Таким образом, задача имеет решение, если выполнены оба неравенства: $2m_b \ge h_a$ и $2m_c \ge h_a$.

Если неравенства строгие ($2m_b > h_a$ и $2m_c > h_a$), то:

• На шаге 5 будет две возможные точки $D$, симметричные относительно перпендикуляра из $C$ к $l_D$. Выбор любой из них приводит к конгруэнтным решениям.
• На шаге 6 будет две возможные точки $B$, $B_1$ и $B_2$, симметричные относительно перпендикуляра из $D$ к $l$. В общем случае, это приводит к двум неконгруэнтным треугольникам, так как длины стороны $BC$ будут различны: $a = |BC_1|$ и $a' = |BC_2|$. Длины стороны $BC$ можно вычислить по формуле $a = \frac{1}{3}\left|\sqrt{4m_b^2 - h_a^2} \pm \sqrt{4m_c^2 - h_a^2}\right|$.

Если хотя бы в одном из условий достигается равенство, то соответствующая окружность касается прямой, и число решений уменьшается. Если хотя бы одно из условий не выполнено, задача не имеет решений.

Ответ: Алгоритм построения треугольника и анализ условий существования решения представлены выше. Задача имеет решение, если выполняются условия $2m_b \ge h_a$ и $2m_c \ge h_a$. В общем случае, при выполнении строгих неравенств, задача имеет два неконгруэнтных решения.