Номер 2.86, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.86. В прямоугольный треугольник с углом $60^\circ$ вписан ромб со стороной, равной 6 см, так, что угол в $60^\circ$ у них общий и все вершины ромба лежат на сторонах треугольника. Найдите стороны треугольника (рис. 2.33).

Рис. 2.33

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$). По условию, один из острых углов равен $60^\circ$, и этот угол общий с ромбом. Судя по рисунку, это угол $A$. Таким образом, $\angle A = 60^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

В треугольник вписан ромб $AKPQ$ со стороной 6 см (исходя из рисунка и условия, где вершина $A$ — общая, $K$ лежит на $AC$, $P$ — на $AB$, и $Q$ — на $BC$). Это означает, что $AK = AP = PQ = KQ = 6$ см.

Найдем катет AC

Катет $AC$ состоит из отрезков $AK$ и $KC$. Длина $AK$ равна стороне ромба, то есть $AK = 6$ см. Чтобы найти $KC$, рассмотрим прямоугольный треугольник $KQC$ ($\angle C = 90^\circ$). Так как $AKPQ$ — ромб, его противоположные стороны параллельны, следовательно, $KQ \parallel AP$. Поскольку $AP$ лежит на стороне $AB$, то $KQ \parallel AB$. Прямые $KQ$ и $AB$ параллельны, а $AC$ и $BC$ — секущие. Значит, соответственные углы равны: $\angle QKC = \angle BAC = 60^\circ$ $\angle KQC = \angle ABC = 30^\circ$ В прямоугольном треугольнике $KQC$ сторона ромба $KQ=6$ см является гипотенузой. Найдем катет $KC$, который прилежит к углу в $60^\circ$: $KC = KQ \cdot \cos(\angle QKC) = 6 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см. Теперь найдем длину всего катета $AC$: $AC = AK + KC = 6 \text{ см} + 3 \text{ см} = 9$ см.

Найдем катет BC

Катет $BC$ состоит из отрезков $BQ$ и $QC$. Найдем сначала $QC$ из того же треугольника $KQC$. Катет $QC$ противолежит углу $\angle QKC = 60^\circ$: $QC = KQ \cdot \sin(\angle QKC) = 6 \cdot \sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см. Теперь найдем $BQ$. Рассмотрим треугольник $PBQ$. Так как $AKPQ$ — ромб, то $PQ \parallel AK$. Поскольку $AK$ лежит на катете $AC$, то $PQ \parallel AC$. Так как $PQ \parallel AC$ и $BC \perp AC$, то $BC \perp PQ$. Следовательно, $\triangle PBQ$ является прямоугольным с прямым углом $\angle PQB = 90^\circ$. В этом треугольнике мы знаем катет $PQ = 6$ см (сторона ромба) и угол $\angle B = 30^\circ$. Найдем катет $BQ$: $\text{tg}(\angle B) = \frac{PQ}{BQ} \implies BQ = \frac{PQ}{\text{tg}(30^\circ)} = \frac{6}{1/\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}$ см. Теперь найдем длину всего катета $BC$: $BC = BQ + QC = 6\sqrt{3} \text{ см} + 3\sqrt{3} \text{ см} = 9\sqrt{3}$ см.

Найдем гипотенузу AB

Гипотенузу $AB$ можно найти по теореме Пифагора для $\triangle ABC$: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + (9\sqrt{3})^2} = \sqrt{81 + 81 \cdot 3} = \sqrt{81 \cdot 4} = \sqrt{324} = 18$ см. Другой способ — сложить отрезки $AP$ и $PB$. Мы знаем $AP = 6$ см. Найдем $PB$ из прямоугольного $\triangle PBQ$: $\sin(\angle B) = \frac{PQ}{PB} \implies PB = \frac{PQ}{\sin(30^\circ)} = \frac{6}{1/2} = 12$ см. $AB = AP + PB = 6 \text{ см} + 12 \text{ см} = 18$ см.

Ответ: Стороны треугольника: катет $AC = 9$ см, катет $BC = 9\sqrt{3}$ см, гипотенуза $AB = 18$ см.