Номер 2.90, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.90. Постройте прямоугольный треугольник по катету и по высоте, проведенной к гипотенузе.

Анализ

Пусть искомый прямоугольный треугольник $ABC$ построен. В нем $\angle C = 90^\circ$. Пусть $AC$ — данный катет, его длина равна $c$, а $CH$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$, ее длина равна $h$.

Рассмотрим треугольник $ACH$. В нем $\angle AHC = 90^\circ$, так как $CH$ — высота, опущенная на прямую $AB$. В этом прямоугольном треугольнике известны гипотенуза $AC = c$ и катет $CH = h$. Такой треугольник можно построить, если его гипотенуза не меньше катета, то есть $c \ge h$.

После построения треугольника $ACH$ мы определим положение вершин $A$ и $C$, а также прямой $AH$, на которой лежит гипотенуза искомого треугольника. Вершина $B$ искомого треугольника $ABC$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Она лежит на прямой $AH$.
2. Угол $\angle ACB$ должен быть прямым, то есть прямая $BC$ должна быть перпендикулярна прямой $AC$.

Таким образом, точка $B$ является точкой пересечения прямой $AH$ и прямой, проходящей через точку $C$ перпендикулярно $AC$. Из этого анализа следует план построения.

Построение

1. Построим прямоугольный треугольник $ACH$ по гипотенузе $c$ и катету $h$. Для этого:
   a) Проведем произвольную прямую $a$.
   б) Выберем на ней произвольную точку $H$.
   в) Восставим в точке $H$ перпендикуляр $b$ к прямой $a$.
   г) На перпендикуляре $b$ отложим отрезок $CH$, равный данной высоте $h$.
   д) Проведем окружность с центром в точке $C$ и радиусом, равным данному катету $c$. Точка пересечения этой окружности с прямой $a$ будет вершиной $A$ искомого треугольника. (Предполагаем, что $c>h$, тогда таких точек две, выбираем любую из них).
2. Проведем прямую через точки $A$ и $C$.
3. Построим прямую $d$, проходящую через точку $C$ перпендикулярно прямой $AC$.
4. Точка пересечения прямых $a$ и $d$ является третьей вершиной искомого треугольника — точкой $B$.
5. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи:

• Треугольник $ABC$ является прямоугольным, так как по построению (шаг 3) прямая $BC$ (частью которой является прямая $d$) перпендикулярна прямой $AC$, следовательно, $\angle ACB = 90^\circ$.
• Катет $AC$ равен данной длине $c$, так как точка $A$ была получена как точка пересечения окружности с центром в $C$ и радиусом $c$ с прямой $a$ (шаг 1д).
• Высота, проведенная из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$, равна $h$. Гипотенуза $AB$ лежит на прямой $a$. По построению (шаги 1в, 1г), отрезок $CH$ перпендикулярен прямой $a$ и его длина равна $h$. Следовательно, $CH$ — это высота треугольника $ABC$, проведенная к гипотенузе.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Исследование

Задача имеет решение не при любых заданных длинах $c$ и $h$.

Построение вершины $A$ в шаге 1д возможно только в том случае, если окружность с центром в $C$ и радиусом $c$ пересекает или касается прямой $a$. Расстояние от центра окружности $C$ до прямой $a$ равно длине отрезка $CH$, то есть $h$. Следовательно, для существования точек пересечения необходимо и достаточно, чтобы радиус окружности был не меньше расстояния от ее центра до прямой, то есть $c \ge h$.

• Если $c > h$, окружность пересекает прямую $a$ в двух различных точках ($A_1$ и $A_2$, симметричных относительно точки $H$). Выбор любой из этих точек для вершины $A$ приводит к построению треугольника, удовлетворяющего условию. Полученные таким образом треугольники будут равны между собой. Следовательно, при $c > h$ задача имеет единственное решение (с точностью до равенства треугольников).
• Если $c = h$, окружность касается прямой $a$ в точке $H$. В этом случае точка $A$ совпадает с $H$. Тогда катет $AC$ совпадает с высотой $CH$. Прямая, перпендикулярная $AC$ в точке $C$, будет параллельна прямой $a$. Следовательно, точка $B$ не может быть найдена как точка пересечения. Решения в виде невырожденного треугольника не существует.
• Если $c < h$, окружность не имеет общих точек с прямой $a$. Построение вершины $A$ невозможно, и задача не имеет решений.

Ответ: Алгоритм построения треугольника описан в пункте "Построение". Задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение при условии, что длина данного катета $c$ строго больше длины данной высоты $h$ (то есть, $c>h$). Если $c \le h$, то построить невырожденный треугольник, удовлетворяющий условиям, невозможно.