Номер 2.96, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.96. По высоте, проведенной к гипотенузе, и биссектрисе прямого-угла постройте прямоугольный треугольник.

Анализ

Пусть искомый прямоугольный треугольник ABC построен, и $\angle C = 90^\circ$. Пусть CH — высота, проведенная к гипотенузе AB, и ее длина равна данному отрезку $h_c$. Пусть CL — биссектриса прямого угла C, и ее длина равна данному отрезку $l_c$. Точки H (основание высоты) и L (основание биссектрисы) лежат на гипотенузе AB.

Поскольку CH — высота, то $CH \perp AB$. Следовательно, треугольник CHL является прямоугольным с прямым углом при вершине H. В этом треугольнике нам известны катет $CH = h_c$ и гипотенуза $CL = l_c$. Такой треугольник можно построить с помощью циркуля и линейки, если выполняется условие $l_c \ge h_c$. Построение этого треугольника позволяет найти вершину C, а также прямую, на которой лежит гипотенуза AB (это прямая, проходящая через точки H и L).

Так как CL — биссектриса угла C, то она делит прямой угол на два равных угла: $\angle ACL = \angle BCL = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$. Это означает, что катеты AC и BC образуют с прямой CL углы в $45^\circ$.

Таким образом, план построения становится ясен. Сначала строим вспомогательный треугольник CHL. Затем, имея прямую CL, строим через точку C две прямые, содержащие катеты AC и BC. Эти прямые должны составлять угол $45^\circ$ с прямой CL. Вершины A и B искомого треугольника будут точками пересечения этих прямых с прямой HL.

Ответ: План построения состоит в том, чтобы сначала построить вспомогательный прямоугольный треугольник CHL по известному катету $h_c$ и гипотенузе $l_c$. Затем, используя построенный отрезок CL как биссектрису, построить прямые, содержащие катеты искомого треугольника, как прямые, проходящие через точку C под углом $45^\circ$ к прямой CL. Вершины искомого треугольника A и B будут лежать на пересечении этих прямых с прямой HL.

Построение

Пусть даны два отрезка: $h_c$ (высота) и $l_c$ (биссектриса), причем $l_c \ge h_c$.

1. Проведем произвольную прямую $a$. Эта прямая будет содержать гипотенузу искомого треугольника.

2. Отметим на прямой $a$ произвольную точку H.

3. Через точку H проведем прямую $b$, перпендикулярную прямой $a$.

4. На прямой $b$ отложим отрезок $CH$, равный данной высоте $h_c$. Для этого построим окружность с центром в H и радиусом $h_c$ и отметим одну из точек пересечения с прямой $b$ как C.

5. Теперь найдем положение точки L на прямой $a$. Построим окружность с центром в точке C и радиусом, равным данной биссектрисе $l_c$.

6. Эта окружность пересечет прямую $a$ в точке (если $l_c = h_c$) или двух точках (если $l_c > h_c$). Выберем одну из точек пересечения и назовем ее L. Мы построили прямоугольный треугольник CHL.

7. Через точку C проведем прямую, содержащую отрезок CL.

8. Построим прямые, содержащие катеты треугольника. Для этого необходимо провести через точку C две прямые под углом $45^\circ$ к прямой CL. Сначала проведем через точку C прямую $d$, перпендикулярную прямой CL.

9. Построим биссектрисы двух смежных прямых углов, образованных прямыми CL и $d$. Назовем эти биссектрисы $p$ и $q$. Прямые $p$ и $q$ перпендикулярны друг другу.

10. Найдем вершины A и B. Точка A — это точка пересечения прямой $p$ с прямой $a$.

11. Точка B — это точка пересечения прямой $q$ с прямой $a$.

12. Соединим точки A, B и C. Треугольник ABC — искомый.

Ответ: Построен треугольник ABC, удовлетворяющий условиям задачи.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник ABC.

Во-первых, по построению, отрезок CH перпендикулярен прямой $a$, на которой лежит сторона AB. Следовательно, CH является высотой треугольника ABC, проведенной к стороне AB. Длина CH по построению равна $h_c$.

Во-вторых, прямые $p$ (содержащая AC) и $q$ (содержащая BC) были построены как биссектрисы прямых углов между прямой CL и перпендикулярной ей прямой $d$. Следовательно, угол между прямыми $p$ и $q$ равен $90^\circ$. Таким образом, $\angle ACB = 90^\circ$, и треугольник ABC — прямоугольный.

В-третьих, по построению, прямая CL является биссектрисой угла между прямыми $p$ и $q$, так как она делит прямой угол между ними на два угла по $45^\circ$. Значит, CL — биссектриса угла ACB. Длина отрезка CL от вершины C до пересечения с гипотенузой AB по построению равна $l_c$.

Таким образом, построенный треугольник ABC является прямоугольным, его высота, проведенная к гипотенузе, равна $h_c$, а биссектриса прямого угла равна $l_c$. Следовательно, треугольник ABC является искомым.

Ответ: Построенный треугольник ABC является искомым, так как он прямоугольный, высота, проведенная к гипотенузе, равна $h_c$, а биссектриса прямого угла равна $l_c$.

Исследование

Задача на построение имеет решение тогда и только тогда, когда возможно выполнить все шаги построения.

Ключевым шагом, определяющим возможность решения, является построение прямоугольного треугольника CHL по катету $CH = h_c$ и гипотенузе $CL = l_c$. Такое построение возможно только в том случае, если гипотенуза не меньше катета, то есть $l_c \ge h_c$.

Случай 1: $l_c < h_c$. В этом случае окружность с центром C и радиусом $l_c$ не пересечет прямую $a$, и точку L построить невозможно. Задача не имеет решений.

Случай 2: $l_c = h_c$. В этом случае точка L совпадает с точкой H. Построение возможно и приводит к единственному (с точностью до конгруэнтности) решению. Искомый треугольник ABC будет равнобедренным, так как высота и биссектриса, проведенные из вершины C, совпадают, а значит $\angle A = \angle B = 45^\circ$.

Случай 3: $l_c > h_c$. В этом случае окружность с центром C и радиусом $l_c$ пересекает прямую $a$ в двух точках, L и L', симметричных относительно H. Выбор любой из этих точек для построения приводит к конгруэнтным треугольникам (один будет зеркальным отражением другого относительно высоты CH). Следовательно, задача также имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение.

Ответ: Задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение при $l_c \ge h_c$. При $l_c < h_c$ задача решений не имеет.