Номер 2.94, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.94. Медианы, проведенные к катетам прямоугольного треугольника, равны $\sqrt{52}$ и $\sqrt{73}$. Найдите гипотенузу.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Согласно теореме Пифагора, для этого треугольника справедливо равенство: $a^2 + b^2 = c^2$.

Обозначим медиану, проведенную к катету $a$, как $m_a$, а медиану, проведенную к катету $b$, как $m_b$. По условию задачи, нам даны длины этих медиан: $m_a = \sqrt{52}$ и $m_b = \sqrt{73}$.

Медиана, проведенная к катету, является гипотенузой в другом прямоугольном треугольнике. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный медианой $m_b$, катетом $a$ и половиной катета $b$ (отрезком длиной $\frac{b}{2}$). По теореме Пифагора для этого треугольника получаем:
$m_b^2 = a^2 + (\frac{b}{2})^2$
Подставив известное значение $m_b^2 = (\sqrt{73})^2 = 73$, получим первое уравнение:
$a^2 + \frac{b^2}{4} = 73$

Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный медианой $m_a$, катетом $b$ и половиной катета $a$ (отрезком длиной $\frac{a}{2}$). По теореме Пифагора для этого треугольника получаем:
$m_a^2 = b^2 + (\frac{a}{2})^2$
Подставив известное значение $m_a^2 = (\sqrt{52})^2 = 52$, получим второе уравнение:
$b^2 + \frac{a^2}{4} = 52$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($a^2$ и $b^2$):
$\left\{ \begin{array}{l} a^2 + \frac{b^2}{4} = 73 \\ b^2 + \frac{a^2}{4} = 52 \end{array} \right.$

Чтобы найти гипотенузу $c$, нам нужно вычислить сумму квадратов катетов $a^2 + b^2$. Для этого сложим левые и правые части обоих уравнений системы:
$(a^2 + \frac{b^2}{4}) + (b^2 + \frac{a^2}{4}) = 73 + 52$

Сгруппируем слагаемые:
$(a^2 + \frac{a^2}{4}) + (b^2 + \frac{b^2}{4}) = 125$
$\frac{5a^2}{4} + \frac{5b^2}{4} = 125$

Вынесем общий множитель $\frac{5}{4}$ за скобки:
$\frac{5}{4}(a^2 + b^2) = 125$

Теперь выразим искомую сумму $a^2 + b^2$:
$a^2 + b^2 = 125 \cdot \frac{4}{5}$
$a^2 + b^2 = \frac{125 \cdot 4}{5} = 25 \cdot 4 = 100$

Поскольку по теореме Пифагора для исходного треугольника $c^2 = a^2 + b^2$, то мы имеем:
$c^2 = 100$
$c = \sqrt{100} = 10$ (длина гипотенузы может быть только положительным числом).

Ответ: 10.