Номер 2.89, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.89. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и сумме катетов.

Анализ:

Предположим, что искомый прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ построен. Пусть его катеты $AC=a$, $BC=b$ и гипотенуза $AB=c$. По условию нам даны длина гипотенузы $c$ и сумма длин катетов $s = a+b$.

Для того чтобы использовать сумму катетов $s$, отложим на продолжении катета $AC$ за точку $C$ отрезок $CD$, равный катету $BC$. Тогда длина отрезка $AD$ будет равна $AC + CD = AC + BC = a+b = s$.

Рассмотрим треугольник $BCD$. Так как по построению $BC = CD$ и $BC \perp AD$ (поскольку $∠ACB = 90°$), то треугольник $BCD$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Углы при основании $BD$ в таком треугольнике равны по $45°$. В частности, $∠CDB = 45°$.

Теперь рассмотрим вспомогательный треугольник $ABD$. В этом треугольнике нам известны длины двух сторон: $AB = c$ (данная гипотенуза) и $AD = s$ (данная сумма катетов). Также нам известен угол, противолежащий стороне $AB$: $∠ADB = 45°$.

Треугольник $ABD$ можно построить по двум сторонам и углу, лежащему напротив одной из них. После построения этого треугольника, вершина $C$ искомого треугольника $ABC$ определяется как основание перпендикуляра, опущенного из вершины $B$ на прямую $AD$.

Построение:

На основе проведенного анализа составим план построения с помощью циркуля и линейки.

1. Провести произвольную прямую и отметить на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля отложить на прямой от точки $A$ отрезок $AD$, равный данной сумме катетов $s$.
3. В точке $D$ построить луч $m$, образующий с отрезком $AD$ угол $45°$. (Это можно сделать, построив в точке $D$ перпендикуляр к прямой $AD$ и разделив полученный прямой угол пополам с помощью циркуля и линейки).
4. Из точки $A$ как из центра провести дугу окружности с радиусом, равным данной гипотенузе $c$.
5. Точку пересечения этой дуги с лучом $m$ обозначить как $B$. (Если пересечение существует).
6. Из точки $B$ опустить перпендикуляр на прямую $AD$. Точку пересечения (основание перпендикуляра) обозначить как $C$.
7. Соединить точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство:

Докажем, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• По построению (шаг 6), $BC \perp AC$, следовательно, $∠ACB = 90°$. Таким образом, $ABC$ — прямоугольный треугольник.
• По построению (шаг 4), сторона $AB$ равна $c$. Таким образом, гипотенуза треугольника равна заданной длине.
• Осталось доказать, что сумма катетов $AC + BC$ равна $s$. Рассмотрим треугольник $BCD$. По построению $∠BCD = 90°$ и $∠BDC = 45°$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому $∠CBD = 180° - 90° - 45° = 45°$. Так как $∠CBD = ∠BDC$, треугольник $BCD$ является равнобедренным, и, следовательно, $BC = CD$.
• По построению (шаг 2), длина отрезка $AD$ равна $s$. Так как точка $C$ лежит на отрезке $AD$, то $AD = AC + CD$. Заменяя $CD$ на равный ему отрезок $BC$, получаем $AD = AC + BC$.
• Следовательно, $AC + BC = s$.

Все условия задачи выполнены.

Исследование:

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда дуга окружности из шага 4 пересекает луч $m$ из шага 3.

Это возможно, если расстояние от центра окружности (точки $A$) до луча $m$ не превышает радиуса $c$. Минимальное расстояние от точки $A$ до луча $m$ — это длина перпендикуляра, опущенного из $A$ на прямую, содержащую луч $m$. В треугольнике $ABD$ это высота $h_A$, опущенная на сторону $BD$. Проще рассмотреть расстояние от $A$ до луча $m$ через синус угла $D$. Расстояние от $A$ до прямой, содержащей луч $m$, равно $AD \sin(45°) = s \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, для существования хотя бы одной точки пересечения $B$ необходимо и достаточно, чтобы $c \ge s \frac{\sqrt{2}}{2}$, что эквивалентно $c\sqrt{2} \ge s$.

Кроме того, для существования самого треугольника $ABC$ должно выполняться неравенство треугольника: $a+b > c$, то есть $s>c$.

Итак, задача имеет решение, если выполняются условия $c < s \le c\sqrt{2}$.

• Если $s = c\sqrt{2}$, то $c = s\frac{\sqrt{2}}{2}$, и дуга касается луча. Решение единственно, при этом $a=b$, то есть треугольник равнобедренный.
• Если $c < s < c\sqrt{2}$, то окружность пересекает прямую, содержащую луч $m$, в двух точках. Однако, как правило, только одна из этих точек (или обе, что приводит к конгруэнтным треугольникам) будет лежать на луче $m$ и давать искомое построение. Анализ показывает, что два возможных решения для длин катетов $(a,b)$ и $(b,a)$ приводят к построению двух конгруэнтных треугольников. Таким образом, решение единственно с точностью до конгруэнтности.
• Если $s \le c$ или $s > c\sqrt{2}$, задача не имеет решений.

Ответ: Искомый треугольник строится по приведенному алгоритму. Построение возможно и дает единственный (с точностью до конгруэнтности) треугольник при условии, что данная сумма катетов $s$ больше данной гипотенузы $c$, но не превышает $c\sqrt{2}$.