Номер 2.93, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.93. В прямоугольном треугольнике с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ выполнено равенство $b = \sqrt{ac}$. Найдите острые углы треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$. Острые углы, противолежащие катетам $a$ и $b$, обозначим как $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Из условия задачи нам известно равенство $b = \sqrt{ac}$, что эквивалентно $b^2 = ac$.

Для любого прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим в это уравнение данное нам условие $b^2 = ac$:

$a^2 + ac = c^2$

Мы получили уравнение, связывающее длины катета $a$ и гипотенузы $c$. Разделим все члены этого уравнения на $a^2$ (это возможно, так как длина катета $a$ не может быть равна нулю):

$1 + \frac{c}{a} = \left(\frac{c}{a}\right)^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно отношения $\frac{c}{a}$:

$\left(\frac{c}{a}\right)^2 - \frac{c}{a} - 1 = 0$

Введем замену $x = \frac{c}{a}$. Уравнение примет вид:

$x^2 - x - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней:

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Так как $x$ представляет собой отношение длин гипотенузы и катета ($x = \frac{c}{a}$), это значение должно быть положительным. Следовательно, мы выбираем корень со знаком плюс:

$x = \frac{c}{a} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Теперь мы можем найти значения тригонометрических функций острых углов. По определению, синус угла $\alpha$ (угла, противолежащего катету $a$) в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета $a$ к гипотенузе $c$:

$\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{1}{c/a} = \frac{1}{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} = \frac{2}{1 + \sqrt{5}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{5} - 1)$:

$\sin \alpha = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{5 - 1} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{4} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

Таким образом, один из острых углов, $\alpha$, таков, что его синус равен $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.

Второй острый угол $\beta$ можно найти из того факта, что сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Следовательно, $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Поэтому $\sin \alpha = \cos \beta$.

Значит, $\cos \beta = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.

Острые углы треугольника можно выразить через обратные тригонометрические функции:

$\alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right)$

$\beta = \arccos\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right)$

Так как $\alpha + \beta = 90^\circ$, то $\beta$ также можно выразить как $90^\circ - \arcsin\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right)$.

Ответ: Острые углы треугольника равны $\arcsin\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right)$ и $\arccos\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right)$ (или $90^\circ - \arcsin\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right)$).