Номер 2.88, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.88. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 17 см, а гипотенуза – 13 см. Найдите катеты треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c.
По условию задачи дано, что сумма катетов $a + b = 17$ см, а гипотенуза $c = 13$ см.
Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.
Составим систему уравнений с двумя неизвестными:
$a + b = 17$
$a^2 + b^2 = 13^2$

Из первого уравнения выразим переменную a через b:
$a = 17 - b$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(17 - b)^2 + b^2 = 169$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$17^2 - 2 \cdot 17 \cdot b + b^2 + b^2 = 169$
$289 - 34b + 2b^2 = 169$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:
$2b^2 - 34b + 289 - 169 = 0$
$2b^2 - 34b + 120 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 2:
$b^2 - 17b + 60 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета: сумма корней уравнения равна коэффициенту при b с противоположным знаком (т.е. 17), а произведение корней равно свободному члену (т.е. 60).
Подбором находим корни: $b_1 = 5$ и $b_2 = 12$, так как $5 + 12 = 17$ и $5 \cdot 12 = 60$.

Теперь найдем соответствующие значения для катета a:
1. Если $b_1 = 5$ см, то $a_1 = 17 - 5 = 12$ см.
2. Если $b_2 = 12$ см, то $a_2 = 17 - 12 = 5$ см.

Таким образом, в обоих случаях мы получаем, что катеты треугольника равны 5 см и 12 см.

Ответ: катеты треугольника равны 5 см и 12 см.