Номер 2.82, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.82. Один катет и радиус описанной около прямоугольного треугольника $a = R = 4 \text{ см}$. Найдите все неизвестные элементы этого треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$, острыми углами $\alpha$ и $\beta$ (противолежащими катетам $a$ и $b$ соответственно) и прямым углом $\gamma=90^\circ$. По условию задачи, один катет $a = 4$ см, а радиус описанной окружности $R = 4$ см. Найдем все неизвестные элементы: гипотенузу $c$, второй катет $b$, углы $\alpha$ и $\beta$, площадь $S$, периметр $P$ и радиус вписанной окружности $r$.

1. Нахождение гипотенузы $c$

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы, а ее радиус $R$ равен половине длины гипотенузы $c$. Таким образом, $c = 2R$. Подставим известное значение $R$: $c = 2 \times 4 = 8$ см.
Ответ: гипотенуза $c = 8$ см.

2. Нахождение второго катета $b$

Используем теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$. Выразим из нее катет $b$: $b = \sqrt{c^2 - a^2}$. Подставим известные значения $a$ и $c$: $b = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48}$. Упростим полученное значение: $b = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$ см.
Ответ: второй катет $b = 4\sqrt{3}$ см.

3. Нахождение острых углов $\alpha$ и $\beta$

Угол $\alpha$ — это угол, противолежащий катету $a$. Его синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: $\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Отсюда находим угол: $\alpha = \arcsin(\frac{1}{2}) = 30^\circ$.
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому второй острый угол $\beta$ равен: $\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
Ответ: острые углы равны $30^\circ$ и $60^\circ$.

4. Нахождение площади $S$

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$. Подставим значения катетов: $S = \frac{1}{2} \times 4 \times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см$^2$.
Ответ: площадь $S = 8\sqrt{3}$ см$^2$.

5. Нахождение периметра $P$

Периметр — это сумма длин всех сторон треугольника: $P = a + b + c$. Подставим найденные значения сторон: $P = 4 + 4\sqrt{3} + 8 = 12 + 4\sqrt{3}$ см. Можно вынести общий множитель: $P = 4(3 + \sqrt{3})$ см.
Ответ: периметр $P = 12 + 4\sqrt{3}$ см.

6. Нахождение радиуса вписанной окружности $r$

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле $r = \frac{a+b-c}{2}$. Подставим значения сторон: $r = \frac{4 + 4\sqrt{3} - 8}{2} = \frac{4\sqrt{3} - 4}{2} = 2\sqrt{3} - 2$ см. Можно вынести общий множитель: $r = 2(\sqrt{3} - 1)$ см.
Ответ: радиус вписанной окружности $r = 2(\sqrt{3} - 1)$ см.