Номер 2.76, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.76. Постройте треугольник из задачи 2.71.

Задача 2.76 является задачей на построение, условия которой, по-видимому, определены в задаче 2.71. Стандартная формулировка задачи 2.71 в данном контексте — это построение треугольника по стороне, сумме двух других сторон и высоте, проведенной к первой стороне. Таким образом, требуется построить треугольник $ABC$ по заданным отрезкам: стороне $a$ (длина $BC$), сумме сторон $l = b+c$ (где $b=AC$, $c=AB$) и высоте $h_a$ (опущенной из вершины $A$ на сторону $BC$).

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Поместим его в систему координат для определения взаимного расположения его вершин. Пусть сторона $BC$ лежит на оси абсцисс, а ее середина $M$ совпадает с началом координат. Тогда вершины $B$ и $C$ имеют координаты $B(-a/2, 0)$ и $C(a/2, 0)$.

Высота из вершины $A$ на сторону $BC$ равна $h_a$. Это означает, что вершина $A$ лежит на прямой, параллельной оси абсцисс, на расстоянии $h_a$ от нее. Пусть уравнение этой прямой $y = h_a$. Обозначим абсциссу точки $A$ через $x_A$. Таким образом, $A(x_A, h_a)$. Расстояние от $A$ до середины $M$ стороны $BC$ по горизонтали равно $|x_A|$.

По условию, сумма сторон $AB + AC = l$. Выразим длины этих сторон через координаты вершин:

$AB = \sqrt{(x_A - (-a/2))^2 + (h_a - 0)^2} = \sqrt{(x_A + a/2)^2 + h_a^2}$

$AC = \sqrt{(x_A - a/2)^2 + (h_a - 0)^2} = \sqrt{(x_A - a/2)^2 + h_a^2}$

Подставим эти выражения в условие $AB + AC = l$:

$\sqrt{(x_A + a/2)^2 + h_a^2} + \sqrt{(x_A - a/2)^2 + h_a^2} = l$

Это уравнение описывает эллипс с фокусами в точках $B$ и $C$. Нам нужно найти точку $A$ на прямой $y=h_a$, удовлетворяющую этому уравнению. Решим уравнение относительно $x_A$. Последовательно возводя в квадрат и упрощая (подробные алгебраические преобразования опущены для краткости), получим выражение для $x_A^2$:

$x_A^2 = \left(\frac{l}{2}\right)^2 \cdot \frac{l^2 - a^2 - 4h_a^2}{l^2 - a^2}$

Это выражение для квадрата расстояния от середины стороны $BC$ до основания высоты $AH$ (если $H$ - основание высоты, то $x_A$ - это координата $H$ относительно $M$, т.е. $x_A = MH$). Величину $x_A$ можно построить циркулем и линейкой, если известны $a$, $l$ и $h_a$.

Построение

Построение выполняется в два этапа: сначала строим отрезок длиной $x_A$, затем строим сам треугольник.

1. Построение вспомогательного отрезка $x_A$:

а) Построим отрезок $d_1$ такой, что $d_1^2 = l^2 - a^2$. Для этого строим прямоугольный треугольник с гипотенузой $l$ и катетом $a$. Второй катет будет иметь длину $d_1$. (Это возможно, если $l>a$).

б) Построим отрезок $d_2$ такой, что $d_2^2 = d_1^2 - (2h_a)^2 = l^2 - a^2 - 4h_a^2$. Для этого строим прямоугольный треугольник с гипотенузой $d_1$ и катетом $2h_a$. Второй катет будет иметь длину $d_2$. (Это возможно, если $d_1 > 2h_a$).

в) Теперь нам нужно построить отрезок $x_A$, исходя из соотношения $x_A = \frac{l}{2} \cdot \frac{d_2}{d_1}$. Это делается с помощью построения четвертого пропорционального отрезка. На сторонах произвольного угла от его вершины $O$ откладываем отрезки $OD_1 = d_1$ и $OD_2 = d_2$ на одной стороне, и отрезок $OL = l/2$ на другой. Проводим прямую $D_1L$. Затем проводим прямую через точку $D_2$ параллельно $D_1L$. Точка $X_A$ пересечения этой прямой со второй стороной угла даст искомый отрезок $OX_A = x_A$.

2. Построение треугольника $ABC$:

а) Проводим произвольную прямую и отмечаем на ней точку $M$.

б) На этой прямой от точки $M$ в обе стороны откладываем отрезки $MB=MC=a/2$. Получаем сторону $BC$ искомого треугольника.

в) В точке $M$ восстанавливаем перпендикуляр к прямой $BC$.

г) На перпендикуляре от точки $M$ откладываем отрезок $MH=x_A$ (построенный на шаге 1), получаем точку $H$ — основание высоты.

д) В точке $H$ восстанавливаем перпендикуляр к прямой $BC$ (этот перпендикуляр будет параллелен прямой, построенной в шаге в). На этом перпендикуляре откладываем отрезок $HA = h_a$. Получаем вершину $A$.

е) Соединяем точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

По построению, сторона $BC = BM + MC = a/2 + a/2 = a$. Высота $AH$ перпендикулярна $BC$ и ее длина равна $h_a$. Расстояние $MH$ между серединой стороны $BC$ и основанием высоты $H$ равно $x_A$. Согласно анализу, это значение $x_A$ было вычислено так, чтобы удовлетворять условию $AB + AC = l$. Следовательно, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение не при любых значениях $a$, $l$ и $h_a$.

1. Из неравенства треугольника следует, что $b+c > a$, то есть $l > a$. Это условие необходимо для построения отрезка $d_1 = \sqrt{l^2 - a^2}$.

2. Для построения отрезка $d_2 = \sqrt{d_1^2 - (2h_a)^2}$ необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $d_1^2 \ge (2h_a)^2$, что равносильно $l^2 - a^2 \ge 4h_a^2$, или $l^2 \ge a^2 + 4h_a^2$.

Таким образом, задача имеет решение тогда и только тогда, когда выполняются условия $l > a$ и $l^2 \ge a^2 + 4h_a^2$.

- Если $l^2 > a^2 + 4h_a^2$, то $x_A > 0$. Точку $H$ можно отложить от $M$ в любую из двух сторон, что дает два симметричных (конгруэнтных) треугольника. В этом случае задача имеет единственное решение с точностью до конгруэнтности.

- Если $l^2 = a^2 + 4h_a^2$, то $x_A = 0$. Точка $H$ совпадает с $M$, и треугольник является равнобедренным ($AB = AC$). Решение единственно.

- Если $l^2 < a^2 + 4h_a^2$, то действительного значения для $d_2$ не существует, и задача не имеет решений.

Ответ: Искомый треугольник строится по алгоритму, описанному в разделе "Построение". Существование и единственность решения определяются соотношениями между данными отрезками $a$, $l$ и $h_a$, как указано в разделе "Исследование".