Номер 2.71, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.71. Даны катет $a$ и противолежащий острый угол $\alpha$ прямоугольного треугольника. Найдите другие стороны и углы этого треугольника.

1) $a = 5$ см, $\alpha = 30^\circ$;

2) $a = \sqrt{2}$ дм, $\alpha = 45^\circ$;

3) $a = \sqrt{3}$ см, $\alpha = 60^\circ$.

Обозначим стороны и углы прямоугольного треугольника: $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза, $\alpha$ — острый угол, противолежащий катету $a$, $\beta$ — острый угол, противолежащий катету $b$, и прямой угол $\gamma = 90°$.

Для решения задачи воспользуемся следующими соотношениями в прямоугольном треугольнике:

• Сумма острых углов: $\alpha + \beta = 90°$.
• Определения тригонометрических функций: $\sin \alpha = \frac{a}{c}$, $\cos \alpha = \frac{b}{c}$, $\tan \alpha = \frac{a}{b}$.

Из этих формул можно выразить неизвестные стороны и углы:

• $\beta = 90° - \alpha$
• $c = \frac{a}{\sin \alpha}$
• $b = \frac{a}{\tan \alpha}$ (или $b = c \cdot \cos \alpha$)

1) Дано: $a = 5$ см, $\alpha = 30°$.

Решение:

1. Находим второй острый угол $\beta$:

$\beta = 90° - \alpha = 90° - 30° = 60°$.

2. Находим гипотенузу $c$:

$c = \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{5}{\sin 30°}$.

Поскольку значение $\sin 30° = \frac{1}{2}$, получаем:

$c = \frac{5}{1/2} = 10$ см.

3. Находим второй катет $b$:

$b = \frac{a}{\tan \alpha} = \frac{5}{\tan 30°}$.

Поскольку значение $\tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:

$b = \frac{5}{1/\sqrt{3}} = 5\sqrt{3}$ см.

Ответ: второй острый угол $\beta = 60°$, второй катет $b = 5\sqrt{3}$ см, гипотенуза $c = 10$ см.

2) Дано: $a = \sqrt{2}$ дм, $\alpha = 45°$.

Решение:

1. Находим второй острый угол $\beta$:

$\beta = 90° - \alpha = 90° - 45° = 45°$.

2. Так как углы при гипотенузе равны ($\alpha = \beta = 45°$), треугольник является равнобедренным. Следовательно, его катеты равны:

$b = a = \sqrt{2}$ дм.

3. Находим гипотенузу $c$:

$c = \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{\sqrt{2}}{\sin 45°}$.

Поскольку значение $\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$c = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2} = 2$ дм.

Ответ: второй острый угол $\beta = 45°$, второй катет $b = \sqrt{2}$ дм, гипотенуза $c = 2$ дм.

3) Дано: $a = \sqrt{3}$ см, $\alpha = 60°$.

Решение:

1. Находим второй острый угол $\beta$:

$\beta = 90° - \alpha = 90° - 60° = 30°$.

2. Находим гипотенузу $c$:

$c = \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 60°}$.

Поскольку значение $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$c = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = 2$ см.

3. Находим второй катет $b$:

$b = \frac{a}{\tan \alpha} = \frac{\sqrt{3}}{\tan 60°}$.

Поскольку значение $\tan 60° = \sqrt{3}$, получаем:

$b = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$ см.

Ответ: второй острый угол $\beta = 30°$, второй катет $b = 1$ см, гипотенуза $c = 2$ см.