Номер 2.66, страница 67 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.66. В треугольнике больший угол при основании равен 45°, а высота делит основание на части длиной 20 см и 21 см. Найдите большую боковую сторону.

Пусть дан треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Проведем высоту $BH$ к основанию. Высота делит основание $AC$ на два отрезка, $AH$ и $HC$, длины которых по условию равны 20 см и 21 см. Высота $BH$ также делит исходный треугольник на два прямоугольных треугольника: $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$.

Углы при основании — это $\angle BAC$ и $\angle BCA$. Обозначим их как $\alpha$ и $\gamma$ соответственно. По условию, больший из этих углов равен $45^\circ$. В прямоугольных треугольниках $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$ имеем: $tg(\alpha) = \frac{BH}{AH}$ и $tg(\gamma) = \frac{BH}{HC}$.

Сравним углы $\alpha$ и $\gamma$. Если один угол больше другого, например $\alpha > \gamma$, то и его тангенс больше (поскольку углы острые): $tg(\alpha) > tg(\gamma)$. Это означает, что $\frac{BH}{AH} > \frac{BH}{HC}$, откуда следует, что $AH < HC$. Таким образом, мы приходим к выводу, что большему углу при основании соответствует меньший прилежащий к нему отрезок основания.

Так как по условию больший угол при основании равен $45^\circ$, а отрезки основания равны 20 см и 21 см, то угол в $45^\circ$ должен прилегать к меньшему отрезку, то есть к отрезку длиной 20 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого один из катетов — это отрезок основания длиной 20 см, а прилежащий к нему острый угол равен $45^\circ$. Пусть это будет $\triangle ABH$, где $AH = 20$ см и $\angle BAH = 45^\circ$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то второй острый угол $\angle ABH = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, $\triangle ABH$ — равнобедренный, и его катеты равны: $BH = AH = 20$ см.

Теперь мы можем найти длины боковых сторон $AB$ и $BC$, используя теорему Пифагора. Для $\triangle ABH$: $AB^2 = AH^2 + BH^2 = 20^2 + 20^2 = 400 + 400 = 800$. $AB = \sqrt{800} = \sqrt{400 \cdot 2} = 20\sqrt{2}$ см.

Для $\triangle CBH$ (где $HC = 21$ см и $BH = 20$ см): $BC^2 = HC^2 + BH^2 = 21^2 + 20^2 = 441 + 400 = 841$. $BC = \sqrt{841} = 29$ см.

Боковые стороны треугольника равны $20\sqrt{2}$ см и 29 см. Для определения большей стороны сравним их квадраты: $(20\sqrt{2})^2 = 800$ и $29^2 = 841$. Поскольку $841 > 800$, то $29 > 20\sqrt{2}$.

Следовательно, большая боковая сторона имеет длину 29 см.

Ответ: 29 см.