Номер 2.62, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.62. Диагонали ромба равны $a$ и $a\sqrt{3}$. Найдите углы ромба.

Пусть диагонали ромба равны $d_1 = a$ и $d_2 = a\sqrt{3}$.

Диагонали ромба обладают следующими свойствами: они пересекаются под прямым углом ($90^\circ$), в точке пересечения делятся пополам и являются биссектрисами углов ромба. Пересекаясь, диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из таких прямоугольных треугольников. Его катеты равны половинам диагоналей: $\frac{d_1}{2} = \frac{a}{2}$ и $\frac{d_2}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Острые углы этого треугольника являются половинами углов ромба.

Пусть $\alpha_1$ — один из острых углов этого треугольника. Найдем его тангенс. Пусть $\alpha_1$ — это угол, противолежащий катету длиной $\frac{a}{2}$.

$\tan(\alpha_1) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a/2}{a\sqrt{3}/2} = \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, — это $30^\circ$. Таким образом, $\alpha_1 = 30^\circ$.

Поскольку диагональ является биссектрисой угла ромба, один из углов ромба (назовем его $\alpha$) вдвое больше, чем $\alpha_1$:

$\alpha = 2 \cdot \alpha_1 = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$

Сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$. Найдем второй угол ромба (назовем его $\beta$):

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

В ромбе противоположные углы равны, следовательно, углы ромба — это два угла по $60^\circ$ и два угла по $120^\circ$.

Ответ: углы ромба равны $60^\circ$ и $120^\circ$.