Номер 2.57, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.57. Найдите $\ctg \alpha$, $\sin \alpha$ и $\tg \alpha$, если:

1) $\cos \alpha = \frac{5}{13}$;

2) $\cos \alpha = \frac{15}{17}$;

3) $\cos \alpha = 0,6$.

1)

Дано: $cos \alpha = \frac{5}{13}$. Для нахождения остальных тригонометрических функций воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ и определениями тангенса и котангенса. Так как в условии не указан квадрант, в котором находится угол $\alpha$, будем считать его острым (лежащим в I квадранте). В этом случае значения всех его тригонометрических функций положительны.

Шаг 1: Найдем $sin \alpha$.
Из основного тригонометрического тождества выразим $sin^2\alpha$:
$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$.
Так как $\alpha$ — острый угол, $sin \alpha$ положителен:
$sin \alpha = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.

Шаг 2: Найдем $tg \alpha$.
$tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5}$.

Шаг 3: Найдем $ctg \alpha$.
$ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}$.
(Также можно было найти $ctg \alpha$ как $1/tg \alpha = 1 / (\frac{12}{5}) = \frac{5}{12}$)

Ответ: $ctg \alpha = \frac{5}{12}$, $sin \alpha = \frac{12}{13}$, $tg \alpha = \frac{12}{5}$.

2)

Дано: $cos \alpha = \frac{15}{17}$.
Действуем аналогично первому пункту, считая угол $\alpha$ острым.

Шаг 1: Найдем $sin \alpha$.
$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (\frac{15}{17})^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{289 - 225}{289} = \frac{64}{289}$.
$sin \alpha = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17}$.

Шаг 2: Найдем $tg \alpha$.
$tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{8/17}{15/17} = \frac{8}{15}$.

Шаг 3: Найдем $ctg \alpha$.
$ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha} = \frac{15/17}{8/17} = \frac{15}{8}$.

Ответ: $ctg \alpha = \frac{15}{8}$, $sin \alpha = \frac{8}{17}$, $tg \alpha = \frac{8}{15}$.

3)

Дано: $cos \alpha = 0,6$.
Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Шаг 1: Найдем $sin \alpha$ (при условии, что $\alpha$ — острый угол).
$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25}$.
$sin \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Шаг 2: Найдем $tg \alpha$.
$tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$.

Шаг 3: Найдем $ctg \alpha$.
$ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $ctg \alpha = \frac{3}{4}$, $sin \alpha = \frac{4}{5}$, $tg \alpha = \frac{4}{3}$.