Номер 2.59, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.59. ABCD - равнобокая трапеция, в которой $AC \perp CD$, $AB = BC = CD = \frac{1}{2} AD$. Найдите углы этой трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$.

По условию задачи известно:

1. $ABCD$ — равнобокая трапеция. Это означает, что боковые стороны равны ($AB = CD$) и углы при основаниях равны ($\angle{DAB} = \angle{CDA}$ и $\angle{ABC} = \angle{BCD}$).

2. Диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, то есть $\angle{ACD} = 90^\circ$.

3. Длины сторон связаны соотношением $AB = BC = CD = \frac{1}{2}AD$.

Для решения задачи обозначим длину стороны $CD$ как $x$. Тогда из условия (3) следует, что $AB = BC = CD = x$, а длина большего основания $AD = 2x$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Так как $\angle{ACD} = 90^\circ$, этот треугольник является прямоугольным. Стороны $AC$ и $CD$ — его катеты, а сторона $AD$, лежащая напротив прямого угла, — гипотенуза.

В этом треугольнике нам известны длины катета $CD = x$ и гипотенузы $AD = 2x$. Мы можем найти величину угла $\angle{CAD}$, который лежит напротив катета $CD$, используя определение синуса:

$\sin(\angle{CAD}) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CD}{AD} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$

Из этого соотношения следует, что угол $\angle{CAD}$ равен $30^\circ$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Следовательно, мы можем найти второй острый угол $\triangle ACD$, который также является углом $\angle{D}$ трапеции:

$\angle{CDA} = 90^\circ - \angle{CAD} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

Поскольку трапеция $ABCD$ является равнобокой, ее углы при большем основании $AD$ равны:

$\angle{DAB} = \angle{CDA} = 60^\circ$

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Используя это свойство, найдем углы при меньшем основании $BC$:

$\angle{BCD} = 180^\circ - \angle{CDA} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Так как трапеция равнобокая, углы при меньшем основании также равны между собой:

$\angle{ABC} = \angle{BCD} = 120^\circ$

Таким образом, мы нашли все углы трапеции. Проверим, что все исходные условия задачи выполнены. Мы уже использовали условия $\angle{ACD}=90^\circ$ и $CD = \frac{1}{2}AD$. Осталось убедиться, что $BC = CD$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), накрест лежащие углы при секущей $AC$ равны: $\angle{BCA} = \angle{CAD} = 30^\circ$.

Угол $\angle{BAC}$ можно найти как разность: $\angle{BAC} = \angle{DAB} - \angle{CAD} = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$.

В треугольнике $\triangle ABC$ два угла равны ($\angle{BAC} = \angle{BCA} = 30^\circ$), следовательно, он является равнобедренным с основанием $AC$, и его боковые стороны равны: $AB = BC$. Так как трапеция равнобокая ($AB = CD$), то $BC = CD$, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: углы трапеции равны $60^\circ, 120^\circ, 120^\circ, 60^\circ$.