Номер 2.54, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.54. Диагонали ромба равны 4,73 см и 2,94 см.

Найдите углы.

Пусть даны диагонали ромба $d_1 = 4,73$ см и $d_2 = 2,94$ см.

Диагонали ромба имеют следующие свойства: они взаимно перпендикулярны, в точке пересечения делятся пополам и являются биссектрисами углов ромба. Это означает, что диагонали делят ромб на четыре одинаковых прямоугольных треугольника.

Катеты каждого из этих прямоугольных треугольников равны половинам диагоналей:

Катет $a = \frac{d_1}{2} = \frac{4,73}{2} = 2,365$ см.

Катет $b = \frac{d_2}{2} = \frac{2,94}{2} = 1,47$ см.

Острые углы данных прямоугольных треугольников являются половинами углов ромба. Обозначим углы ромба как $\alpha$ и $\beta$. Тогда острые углы в каждом треугольнике будут равны $\frac{\alpha}{2}$ и $\frac{\beta}{2}$.

Для нахождения этих углов можно использовать тригонометрические функции. Воспользуемся тангенсом, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Найдем половину меньшего угла ромба ($\frac{\alpha}{2}$). Для этого угла противолежащим катетом будет $b$ (половина меньшей диагонали), а прилежащим — $a$ (половина большей диагонали).

$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{b}{a} = \frac{1,47}{2,365} \approx 0,621564$

Теперь, используя функцию арктангенса, найдем значение угла $\frac{\alpha}{2}$:

$\frac{\alpha}{2} = \arctan(0,621564) \approx 31,866^\circ$

Следовательно, меньший угол ромба $\alpha$ равен удвоенному значению этого угла:

$\alpha = 2 \cdot 31,866^\circ = 63,732^\circ \approx 63,73^\circ$

Сумма смежных углов ромба равна $180^\circ$. Отсюда найдем больший угол $\beta$:

$\beta = 180^\circ - \alpha \approx 180^\circ - 63,732^\circ = 116,268^\circ \approx 116,27^\circ$

Так как у ромба противоположные углы равны, он имеет два угла $\alpha$ и два угла $\beta$. Можно также представить ответ в градусах и минутах:
$\alpha \approx 63^\circ 44'$
$\beta \approx 116^\circ 16'$

Ответ: два угла ромба равны примерно $63,73^\circ$ (или $63^\circ 44'$), а два других — примерно $116,27^\circ$ (или $116^\circ 16'$).