Страница 66 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.53. Стороны прямоугольника равны 12,4 см и 26 см. Найдите угол между диагоналями (рис. 2.23).

Рис. 2.23

Пусть дан прямоугольник ABCD со сторонами $a = 12,4$ см и $b = 26$ см. Назначим стороны в соответствии с рисунком: пусть меньшая сторона $AB = 12,4$ см, а большая сторона $BC = 26$ см. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. При пересечении диагоналей образуются два смежных угла, $\angle AOB$ (обозначенный на рисунке как $\alpha$) и $\angle BOC$, сумма которых равна $180°$. Один из этих углов острый, а другой — тупой. Найдём оба этих угла.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Поскольку диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам ($AC = BD$, $AO = OC = AC/2$, $BO = OD = BD/2$), то отрезки $AO$ и $BO$ равны. Следовательно, треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным с основанием AB.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $∠OAB = ∠OBA$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому угол $\alpha = \angle AOB$ можно найти по формуле:$ \alpha = 180° - (∠OAB + ∠OBA) = 180° - 2 \cdot ∠OAB $

Для нахождения величины угла $∠OAB$ рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, в котором угол $∠ABC = 90°$. Угол $∠OAB$ совпадает с углом $∠CAB$. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$ \tan(∠CAB) = \frac{BC}{AB} $

Подставим известные значения длин сторон:$ \tan(∠CAB) = \frac{26}{12.4} \approx 2.09677 $

Теперь найдем сам угол $∠CAB$, используя функцию арктангенса:$ ∠CAB = \arctan(\frac{26}{12.4}) \approx 64.5° $

Поскольку $∠OAB = ∠CAB$, то $∠OAB \approx 64.5°$.Теперь мы можем вычислить искомый угол $\alpha$:$ \alpha = \angle AOB \approx 180° - 2 \cdot 64.5° = 180° - 129° = 51° $

Это острый угол между диагоналями. Найдем смежный с ним тупой угол $\angle BOC$:$ \angle BOC = 180° - \alpha \approx 180° - 51° = 129° $

Таким образом, углы, образованные при пересечении диагоналей, равны приблизительно $51°$ и $129°$.

Ответ: $51°$ и $129°$.

2.54. Диагонали ромба равны 4,73 см и 2,94 см.

Найдите углы.

Пусть даны диагонали ромба $d_1 = 4,73$ см и $d_2 = 2,94$ см.

Диагонали ромба имеют следующие свойства: они взаимно перпендикулярны, в точке пересечения делятся пополам и являются биссектрисами углов ромба. Это означает, что диагонали делят ромб на четыре одинаковых прямоугольных треугольника.

Катеты каждого из этих прямоугольных треугольников равны половинам диагоналей:

Катет $a = \frac{d_1}{2} = \frac{4,73}{2} = 2,365$ см.

Катет $b = \frac{d_2}{2} = \frac{2,94}{2} = 1,47$ см.

Острые углы данных прямоугольных треугольников являются половинами углов ромба. Обозначим углы ромба как $\alpha$ и $\beta$. Тогда острые углы в каждом треугольнике будут равны $\frac{\alpha}{2}$ и $\frac{\beta}{2}$.

Для нахождения этих углов можно использовать тригонометрические функции. Воспользуемся тангенсом, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Найдем половину меньшего угла ромба ($\frac{\alpha}{2}$). Для этого угла противолежащим катетом будет $b$ (половина меньшей диагонали), а прилежащим — $a$ (половина большей диагонали).

$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{b}{a} = \frac{1,47}{2,365} \approx 0,621564$

Теперь, используя функцию арктангенса, найдем значение угла $\frac{\alpha}{2}$:

$\frac{\alpha}{2} = \arctan(0,621564) \approx 31,866^\circ$

Следовательно, меньший угол ромба $\alpha$ равен удвоенному значению этого угла:

$\alpha = 2 \cdot 31,866^\circ = 63,732^\circ \approx 63,73^\circ$

Сумма смежных углов ромба равна $180^\circ$. Отсюда найдем больший угол $\beta$:

$\beta = 180^\circ - \alpha \approx 180^\circ - 63,732^\circ = 116,268^\circ \approx 116,27^\circ$

Так как у ромба противоположные углы равны, он имеет два угла $\alpha$ и два угла $\beta$. Можно также представить ответ в градусах и минутах:
$\alpha \approx 63^\circ 44'$
$\beta \approx 116^\circ 16'$

Ответ: два угла ромба равны примерно $63,73^\circ$ (или $63^\circ 44'$), а два других — примерно $116,27^\circ$ (или $116^\circ 16'$).

2.55. Сторона ромба 241 м, высота 120 м. Найдите углы.

Обозначим сторону ромба как $a$, а его высоту как $h$. Согласно условию, $a = 241$ м и $h = 120$ м.

Проведем высоту ромба из одной вершины к противолежащей стороне. Эта высота образует прямоугольный треугольник, в котором сторона ромба $a$ является гипотенузой, а высота $h$ — катетом, противолежащим острому углу ромба. Назовем этот угол $\alpha$.

По определению синуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{h}{a}$

Подставим известные значения:

$\sin(\alpha) = \frac{120}{241}$

Теперь найдем сам угол $\alpha$ с помощью функции арксинуса:

$\alpha = \arcsin\left(\frac{120}{241}\right)$

Приближенное значение этого угла составляет:

$\alpha \approx 29.86^\circ$

В ромбе, как и в любом параллелограмме, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Найдем второй угол ромба, $\beta$:

$\beta = 180^\circ - \alpha$

$\beta = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{120}{241}\right)$

Приближенное значение для $\beta$:

$\beta \approx 180^\circ - 29.86^\circ = 150.14^\circ$

Так как у ромба противоположные углы равны, он имеет две пары равных углов.

Ответ: два угла ромба равны $\arcsin\left(\frac{120}{241}\right) \approx 29.86^\circ$, а два других угла равны $180^\circ - \arcsin\left(\frac{120}{241}\right) \approx 150.14^\circ$.

2.56. Упростите выражения:

1) $1 - \sin^2 \alpha$;

2) $1 - \cos^2 \alpha$;

3) $(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)$;

4) $1 + \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$;

5) $\sin \alpha - \sin \alpha \cos^2 \alpha$;

6) $\cos 45^{\circ} \tan 45^{\circ}$;

7) $\sin 85^{\circ} \tan 5^{\circ}$;

8) $1 - \sin 18^{\circ} \cos 72^{\circ}$;

9) $\frac{2 \cos 2^{\circ}}{\sin 88^{\circ} + \cos 2^{\circ}}$;

10) $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha + 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$;

11) $\tan^2 \alpha (2\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha - 1)$;

12) $\cos^2 \alpha + \tan^2 \alpha \cos^2 \alpha$;

13) $\tan^2 \alpha - \sin^2 \alpha \tan^2 \alpha$;

14) $(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)$;

15) $\tan 5^{\circ} \tan 25^{\circ} \tan 45^{\circ} \tan 65^{\circ} \tan 85^{\circ}$.

1) Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Выразим из него $\cos^2\alpha$: $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.
Следовательно, выражение $1 - \sin^2\alpha$ равно $\cos^2\alpha$.
Ответ: $\cos^2\alpha$.

2) Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Выразим из него $\sin^2\alpha$: $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$.
Следовательно, выражение $1 - \cos^2\alpha$ равно $\sin^2\alpha$.
Ответ: $\sin^2\alpha$.

3) Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
$(1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha) = 1^2 - \cos^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$.
Используя основное тригонометрическое тождество, получаем: $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.
Ответ: $\sin^2\alpha$.

4) Сгруппируем слагаемые и используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
$1 + \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 + (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = 1 + 1 = 2$.
Ответ: 2.

5) Вынесем общий множитель $\sin\alpha$ за скобки.
$\sin\alpha - \sin\alpha\cos^2\alpha = \sin\alpha(1 - \cos^2\alpha)$.
Из основного тригонометрического тождества мы знаем, что $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.
Подставим это в выражение: $\sin\alpha \cdot \sin^2\alpha = \sin^3\alpha$.
Ответ: $\sin^3\alpha$.

6) Используем известные значения тригонометрических функций.
$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\tg 45^\circ = 1$.
$\cos 45^\circ \tg 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

7) Используем формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$ и определение тангенса $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
$\sin 85^\circ = \sin(90^\circ - 5^\circ) = \cos 5^\circ$.
Выражение принимает вид: $\cos 5^\circ \tg 5^\circ = \cos 5^\circ \cdot \frac{\sin 5^\circ}{\cos 5^\circ} = \sin 5^\circ$.
Ответ: $\sin 5^\circ$.

8) Используем формулу приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.
$\cos 72^\circ = \cos(90^\circ - 18^\circ) = \sin 18^\circ$.
Выражение принимает вид: $1 - \sin 18^\circ \cdot \sin 18^\circ = 1 - \sin^2 18^\circ$.
По основному тригонометрическому тождеству $1 - \sin^2 18^\circ = \cos^2 18^\circ$.
Ответ: $\cos^2 18^\circ$.

9) Используем формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$ в знаменателе.
$\sin 88^\circ = \sin(90^\circ - 2^\circ) = \cos 2^\circ$.
Подставим в исходное выражение: $\frac{2\cos 2^\circ}{\sin 88^\circ + \cos 2^\circ} = \frac{2\cos 2^\circ}{\cos 2^\circ + \cos 2^\circ} = \frac{2\cos 2^\circ}{2\cos 2^\circ} = 1$.
Ответ: 1.

10) Данное выражение является полным квадратом. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$\sin^4\alpha + \cos^4\alpha + 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = (\sin^2\alpha)^2 + (\cos^2\alpha)^2 + 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2$.
Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем: $(1)^2 = 1$.
Ответ: 1.

11) Упростим выражение в скобках.
$2\cos^2\alpha + \sin^2\alpha - 1 = \cos^2\alpha + \cos^2\alpha + \sin^2\alpha - 1 = \cos^2\alpha + (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) - 1$.
Используя тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем: $\cos^2\alpha + 1 - 1 = \cos^2\alpha$.
Теперь исходное выражение: $\tg^2\alpha \cdot \cos^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} \cdot \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.
Ответ: $\sin^2\alpha$.

12) Вынесем общий множитель $\cos^2\alpha$ за скобки.
$\cos^2\alpha + \tg^2\alpha\cos^2\alpha = \cos^2\alpha(1 + \tg^2\alpha)$.
Используем тождество $1 + \tg^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.
$\cos^2\alpha \cdot \frac{1}{\cos^2\alpha} = 1$.
Альтернативный способ: $\cos^2\alpha + \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\cos^2\alpha = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.
Ответ: 1.

13) Вынесем общий множитель $\tg^2\alpha$ за скобки.
$\tg^2\alpha - \sin^2\alpha\tg^2\alpha = \tg^2\alpha(1 - \sin^2\alpha)$.
По основному тригонометрическому тождеству $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.
$\tg^2\alpha \cdot \cos^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} \cdot \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.
Ответ: $\sin^2\alpha$.

14) Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
$(1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha) = 1^2 - \sin^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.
Используя основное тригонометрическое тождество, получаем: $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.
Ответ: $\cos^2\alpha$.

15) Используем формулу приведения $\tg(90^\circ - \alpha) = \ctg\alpha$ и свойство $\tg\alpha \cdot \ctg\alpha = 1$.
$\tg 85^\circ = \tg(90^\circ - 5^\circ) = \ctg 5^\circ$.
$\tg 65^\circ = \tg(90^\circ - 25^\circ) = \ctg 25^\circ$.
Также известно, что $\tg 45^\circ = 1$.
Подставим в выражение: $\tg 5^\circ \cdot \tg 25^\circ \cdot 1 \cdot \ctg 25^\circ \cdot \ctg 5^\circ$.
Сгруппируем множители: $(\tg 5^\circ \cdot \ctg 5^\circ) \cdot (\tg 25^\circ \cdot \ctg 25^\circ) \cdot 1 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.
Ответ: 1.

2.57. Найдите $\ctg \alpha$, $\sin \alpha$ и $\tg \alpha$, если:

1) $\cos \alpha = \frac{5}{13}$;

2) $\cos \alpha = \frac{15}{17}$;

3) $\cos \alpha = 0,6$.

1)

Дано: $cos \alpha = \frac{5}{13}$. Для нахождения остальных тригонометрических функций воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ и определениями тангенса и котангенса. Так как в условии не указан квадрант, в котором находится угол $\alpha$, будем считать его острым (лежащим в I квадранте). В этом случае значения всех его тригонометрических функций положительны.

Шаг 1: Найдем $sin \alpha$.
Из основного тригонометрического тождества выразим $sin^2\alpha$:
$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$.
Так как $\alpha$ — острый угол, $sin \alpha$ положителен:
$sin \alpha = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.

Шаг 2: Найдем $tg \alpha$.
$tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5}$.

Шаг 3: Найдем $ctg \alpha$.
$ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}$.
(Также можно было найти $ctg \alpha$ как $1/tg \alpha = 1 / (\frac{12}{5}) = \frac{5}{12}$)

Ответ: $ctg \alpha = \frac{5}{12}$, $sin \alpha = \frac{12}{13}$, $tg \alpha = \frac{12}{5}$.

2)

Дано: $cos \alpha = \frac{15}{17}$.
Действуем аналогично первому пункту, считая угол $\alpha$ острым.

Шаг 1: Найдем $sin \alpha$.
$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (\frac{15}{17})^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{289 - 225}{289} = \frac{64}{289}$.
$sin \alpha = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17}$.

Шаг 2: Найдем $tg \alpha$.
$tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{8/17}{15/17} = \frac{8}{15}$.

Шаг 3: Найдем $ctg \alpha$.
$ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha} = \frac{15/17}{8/17} = \frac{15}{8}$.

Ответ: $ctg \alpha = \frac{15}{8}$, $sin \alpha = \frac{8}{17}$, $tg \alpha = \frac{8}{15}$.

3)

Дано: $cos \alpha = 0,6$.
Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Шаг 1: Найдем $sin \alpha$ (при условии, что $\alpha$ — острый угол).
$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25}$.
$sin \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Шаг 2: Найдем $tg \alpha$.
$tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$.

Шаг 3: Найдем $ctg \alpha$.
$ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $ctg \alpha = \frac{3}{4}$, $sin \alpha = \frac{4}{5}$, $tg \alpha = \frac{4}{3}$.

2.58. Найдите $ \cos \alpha $, $ \text{tg} \alpha $, $ \text{ctg} \alpha $, если:

1) $ \sin \alpha = \frac{1}{2} $;

2) $ \sin \alpha = \frac{40}{41} $;

3) $ \sin \alpha = 0,5 $

Для решения этой задачи мы воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ и определениями тангенса и котангенса: $tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}$ и $ctg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha}$.

Поскольку в условии дано только значение синуса, которое является положительным, угол $\alpha$ может находиться как в первой, так и во второй координатной четверти. В первой четверти ($0 < \alpha < 90^\circ$) все тригонометрические функции ($cos\alpha$, $tg\alpha$, $ctg\alpha$) положительны. Во второй четверти ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$) косинус, тангенс и котангенс отрицательны. Поэтому для каждого пункта существует два возможных набора решений.

1)

Дано: $sin\alpha = \frac{1}{2}$.

1. Находим $cos\alpha$ из основного тригонометрического тождества:

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Отсюда $cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Рассмотрим два случая:

Случай A: Угол $\alpha$ находится в I четверти.

В этом случае $cos\alpha > 0$, поэтому $cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$ctg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$

Случай Б: Угол $\alpha$ находится во II четверти.

В этом случае $cos\alpha < 0$, поэтому $cos\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

$ctg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha} = \frac{-\sqrt{3}/2}{1/2} = -\sqrt{3}$

Ответ: если $\alpha$ в I четверти, то $cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $tg\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $ctg\alpha = \sqrt{3}$; если $\alpha$ во II четверти, то $cos\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $tg\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $ctg\alpha = -\sqrt{3}$.

2)

Дано: $sin\alpha = \frac{40}{41}$.

1. Находим $cos\alpha$:

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (\frac{40}{41})^2 = 1 - \frac{1600}{1681} = \frac{1681 - 1600}{1681} = \frac{81}{1681}$

Отсюда $cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{81}{1681}} = \pm\frac{9}{41}$.

2. Рассмотрим два случая:

Случай A: Угол $\alpha$ находится в I четверти.

В этом случае $cos\alpha > 0$, поэтому $cos\alpha = \frac{9}{41}$.

$tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{40/41}{9/41} = \frac{40}{9}$

$ctg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha} = \frac{9/41}{40/41} = \frac{9}{40}$

Случай Б: Угол $\alpha$ находится во II четверти.

В этом случае $cos\alpha < 0$, поэтому $cos\alpha = -\frac{9}{41}$.

$tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{40/41}{-9/41} = -\frac{40}{9}$

$ctg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha} = \frac{-9/41}{40/41} = -\frac{9}{40}$

Ответ: если $\alpha$ в I четверти, то $cos\alpha = \frac{9}{41}$, $tg\alpha = \frac{40}{9}$, $ctg\alpha = \frac{9}{40}$; если $\alpha$ во II четверти, то $cos\alpha = -\frac{9}{41}$, $tg\alpha = -\frac{40}{9}$, $ctg\alpha = -\frac{9}{40}$.

3)

Дано: $sin\alpha = 0,5$.

Значение $0,5$ равно дроби $\frac{1}{2}$, поэтому это задание полностью идентично заданию из пункта 1).

Ответ: если $\alpha$ в I четверти, то $cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $tg\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $ctg\alpha = \sqrt{3}$; если $\alpha$ во II четверти, то $cos\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $tg\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $ctg\alpha = -\sqrt{3}$.

2.59. ABCD - равнобокая трапеция, в которой $AC \perp CD$, $AB = BC = CD = \frac{1}{2} AD$. Найдите углы этой трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$.

По условию задачи известно:

1. $ABCD$ — равнобокая трапеция. Это означает, что боковые стороны равны ($AB = CD$) и углы при основаниях равны ($\angle{DAB} = \angle{CDA}$ и $\angle{ABC} = \angle{BCD}$).

2. Диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, то есть $\angle{ACD} = 90^\circ$.

3. Длины сторон связаны соотношением $AB = BC = CD = \frac{1}{2}AD$.

Для решения задачи обозначим длину стороны $CD$ как $x$. Тогда из условия (3) следует, что $AB = BC = CD = x$, а длина большего основания $AD = 2x$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Так как $\angle{ACD} = 90^\circ$, этот треугольник является прямоугольным. Стороны $AC$ и $CD$ — его катеты, а сторона $AD$, лежащая напротив прямого угла, — гипотенуза.

В этом треугольнике нам известны длины катета $CD = x$ и гипотенузы $AD = 2x$. Мы можем найти величину угла $\angle{CAD}$, который лежит напротив катета $CD$, используя определение синуса:

$\sin(\angle{CAD}) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CD}{AD} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$

Из этого соотношения следует, что угол $\angle{CAD}$ равен $30^\circ$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Следовательно, мы можем найти второй острый угол $\triangle ACD$, который также является углом $\angle{D}$ трапеции:

$\angle{CDA} = 90^\circ - \angle{CAD} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

Поскольку трапеция $ABCD$ является равнобокой, ее углы при большем основании $AD$ равны:

$\angle{DAB} = \angle{CDA} = 60^\circ$

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Используя это свойство, найдем углы при меньшем основании $BC$:

$\angle{BCD} = 180^\circ - \angle{CDA} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Так как трапеция равнобокая, углы при меньшем основании также равны между собой:

$\angle{ABC} = \angle{BCD} = 120^\circ$

Таким образом, мы нашли все углы трапеции. Проверим, что все исходные условия задачи выполнены. Мы уже использовали условия $\angle{ACD}=90^\circ$ и $CD = \frac{1}{2}AD$. Осталось убедиться, что $BC = CD$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), накрест лежащие углы при секущей $AC$ равны: $\angle{BCA} = \angle{CAD} = 30^\circ$.

Угол $\angle{BAC}$ можно найти как разность: $\angle{BAC} = \angle{DAB} - \angle{CAD} = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$.

В треугольнике $\triangle ABC$ два угла равны ($\angle{BAC} = \angle{BCA} = 30^\circ$), следовательно, он является равнобедренным с основанием $AC$, и его боковые стороны равны: $AB = BC$. Так как трапеция равнобокая ($AB = CD$), то $BC = CD$, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: углы трапеции равны $60^\circ, 120^\circ, 120^\circ, 60^\circ$.

2.60. Найдите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, и радиус окружности, описанной около него.

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной a

Пусть дан равносторонний треугольник со стороной $a$. В таком треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают в точке $O$, которая является точкой пересечения высот, медиан и биссектрис.

Сначала найдем высоту $h$ равностороннего треугольника. Высота, проведенная к одной из сторон, делит ее на два равных отрезка длиной $\frac{a}{2}$ и образует два прямоугольных треугольника. По теореме Пифагора для одного из таких треугольников:

$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2$

$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$

$h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Точка $O$ (центр) делит высоту (которая также является медианой) в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус вписанной окружности $r$ равен расстоянию от центра $O$ до стороны треугольника, что соответствует меньшему из отрезков, на которые делится высота.

$r = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Ответ: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Радиус окружности, описанной около него

Радиус описанной окружности $R$ равен расстоянию от центра $O$ до любой из вершин треугольника. Это соответствует большему из отрезков, на которые точка $O$ делит высоту $h$.

$R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Также можно проверить, что для равностороннего треугольника радиус описанной окружности вдвое больше радиуса вписанной окружности:

$R = 2r = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{2a\sqrt{3}}{6} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

2.61. Диагональ прямоугольника в два раза больше одной из его сторон. Найдите углы между диагоналями.

Пусть дан прямоугольник, одна из его сторон равна $a$, а диагональ равна $d$. Согласно условию задачи, $d = 2a$.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как $O$. Диагонали делят прямоугольник на четыре равнобедренных треугольника. Рассмотрим один из таких треугольников, например $\triangle AOB$, где $AB$ — это сторона прямоугольника, равная $a$, а $AO$ и $BO$ — это половины диагоналей.

Длина каждой половины диагонали равна: $AO = BO = \frac{d}{2}$

Подставим в это выражение значение $d$ из условия: $AO = BO = \frac{2a}{2} = a$

Таким образом, в треугольнике $\triangle AOB$ все три стороны равны: $AB = a$, $AO = a$ и $BO = a$. Это означает, что треугольник $\triangle AOB$ является равносторонним.

Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Следовательно, угол $\angle AOB$, который является одним из углов между диагоналями, равен $60^\circ$.

При пересечении диагоналей образуются две пары вертикальных углов. Один из углов мы нашли, он равен $60^\circ$. Второй угол является смежным с ним, и их сумма составляет $180^\circ$. Найдем величину второго угла: $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Следовательно, углы между диагоналями равны $60^\circ$ и $120^\circ$.

Ответ: $60^\circ$ и $120^\circ$.

2.62. Диагонали ромба равны $a$ и $a\sqrt{3}$. Найдите углы ромба.

Пусть диагонали ромба равны $d_1 = a$ и $d_2 = a\sqrt{3}$.

Диагонали ромба обладают следующими свойствами: они пересекаются под прямым углом ($90^\circ$), в точке пересечения делятся пополам и являются биссектрисами углов ромба. Пересекаясь, диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из таких прямоугольных треугольников. Его катеты равны половинам диагоналей: $\frac{d_1}{2} = \frac{a}{2}$ и $\frac{d_2}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Острые углы этого треугольника являются половинами углов ромба.

Пусть $\alpha_1$ — один из острых углов этого треугольника. Найдем его тангенс. Пусть $\alpha_1$ — это угол, противолежащий катету длиной $\frac{a}{2}$.

$\tan(\alpha_1) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a/2}{a\sqrt{3}/2} = \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, — это $30^\circ$. Таким образом, $\alpha_1 = 30^\circ$.

Поскольку диагональ является биссектрисой угла ромба, один из углов ромба (назовем его $\alpha$) вдвое больше, чем $\alpha_1$:

$\alpha = 2 \cdot \alpha_1 = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$

Сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$. Найдем второй угол ромба (назовем его $\beta$):

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

В ромбе противоположные углы равны, следовательно, углы ромба — это два угла по $60^\circ$ и два угла по $120^\circ$.

Ответ: углы ромба равны $60^\circ$ и $120^\circ$.

2.63. Сравните углы $\alpha$ и $\beta$ по следующим данным:

1) $\sin \alpha = \frac{1}{3}, \sin \beta = \frac{1}{4};$

2) $\sin \alpha = \frac{2}{3}, \sin \beta = \frac{3}{4};$

3) $\cos \alpha = \frac{3}{7}, \cos \beta = \frac{2}{5};$

4) $\cos \alpha = 0,75, \cos \beta = 0,71;$

5) $\operatorname{tg} \alpha = 2,1, \operatorname{tg} \beta = 2,5;$

6) $\operatorname{tg} \alpha = \frac{8}{3}, \operatorname{tg} \beta = \frac{5}{2};$

7) $\operatorname{ctg} \alpha = 1,2, \operatorname{ctg} \beta = 1,1;$

8) $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{3}{2}, \operatorname{ctg} \beta = \frac{7}{3}.$

Для решения всех пунктов задачи будем исходить из того, что углы $\alpha$ и $\beta$ являются острыми, то есть принадлежат интервалу $(0^\circ; 90^\circ)$. В этом интервале важно помнить о монотонности тригонометрических функций:

• Функция $y = \sin x$ возрастает.
• Функция $y = \cos x$ убывает.
• Функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает.
• Функция $y = \operatorname{ctg} x$ убывает.

1) Дано: $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ и $\sin \beta = \frac{1}{4}$.
На интервале $(0^\circ; 90^\circ)$ функция синус возрастает. Это значит, что большему значению синуса соответствует больший угол.
Сравним дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$. Приведем их к общему знаменателю 12:
$\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$
$\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$
Поскольку $\frac{4}{12} > \frac{3}{12}$, то $\sin \alpha > \sin \beta$.
Следовательно, $\alpha > \beta$.

Ответ: $\alpha > \beta$.

2) Дано: $\sin \alpha = \frac{2}{3}$ и $\sin \beta = \frac{3}{4}$.
Функция синус возрастает для острых углов. Сравним значения дробей, приведя их к общему знаменателю 12:
$\sin \alpha = \frac{2}{3} = \frac{8}{12}$
$\sin \beta = \frac{3}{4} = \frac{9}{12}$
Так как $\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$, то $\sin \alpha < \sin \beta$.
Следовательно, $\alpha < \beta$.

Ответ: $\alpha < \beta$.

3) Дано: $\cos \alpha = \frac{3}{7}$ и $\cos \beta = \frac{2}{5}$.
На интервале $(0^\circ; 90^\circ)$ функция косинус убывает. Это значит, что большему значению косинуса соответствует меньший угол.
Сравним дроби $\frac{3}{7}$ и $\frac{2}{5}$. Приведем их к общему знаменателю 35:
$\cos \alpha = \frac{3}{7} = \frac{15}{35}$
$\cos \beta = \frac{2}{5} = \frac{14}{35}$
Поскольку $\frac{15}{35} > \frac{14}{35}$, то $\cos \alpha > \cos \beta$.
Так как функция косинус убывающая, то $\alpha < \beta$.

Ответ: $\alpha < \beta$.

4) Дано: $\cos \alpha = 0,75$ и $\cos \beta = 0,71$.
Функция косинус убывает для острых углов, поэтому большему значению косинуса соответствует меньший угол.
Сравниваем значения: $0,75 > 0,71$.
Это означает, что $\cos \alpha > \cos \beta$.
Следовательно, $\alpha < \beta$.

Ответ: $\alpha < \beta$.

5) Дано: $\operatorname{tg} \alpha = 2,1$ и $\operatorname{tg} \beta = 2,5$.
На интервале $(0^\circ; 90^\circ)$ функция тангенс возрастает. Это значит, что большему значению тангенса соответствует больший угол.
Сравниваем значения: $2,1 < 2,5$.
Это означает, что $\operatorname{tg} \alpha < \operatorname{tg} \beta$.
Следовательно, $\alpha < \beta$.

Ответ: $\alpha < \beta$.

6) Дано: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{8}{3}$ и $\operatorname{tg} \beta = \frac{5}{2}$.
Функция тангенс возрастает для острых углов. Сравним дроби, приведя их к общему знаменателю 6:
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{8}{3} = \frac{16}{6}$
$\operatorname{tg} \beta = \frac{5}{2} = \frac{15}{6}$
Так как $\frac{16}{6} > \frac{15}{6}$, то $\operatorname{tg} \alpha > \operatorname{tg} \beta$.
Следовательно, $\alpha > \beta$.

Ответ: $\alpha > \beta$.

7) Дано: $\operatorname{ctg} \alpha = 1,2$ и $\operatorname{ctg} \beta = 1,1$.
На интервале $(0^\circ; 90^\circ)$ функция котангенс убывает. Это значит, что большему значению котангенса соответствует меньший угол.
Сравниваем значения: $1,2 > 1,1$.
Это означает, что $\operatorname{ctg} \alpha > \operatorname{ctg} \beta$.
Так как функция котангенс убывающая, то $\alpha < \beta$.

Ответ: $\alpha < \beta$.

8) Дано: $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{3}{2}$ и $\operatorname{ctg} \beta = \frac{7}{3}$.
Функция котангенс убывает для острых углов. Сравним дроби, приведя их к общему знаменателю 6:
$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{3}{2} = \frac{9}{6}$
$\operatorname{ctg} \beta = \frac{7}{3} = \frac{14}{6}$
Так как $\frac{9}{6} < \frac{14}{6}$, то $\operatorname{ctg} \alpha < \operatorname{ctg} \beta$.
Поскольку функция котангенс убывающая, то из $\operatorname{ctg} \alpha < \operatorname{ctg} \beta$ следует, что $\alpha > \beta$.

Ответ: $\alpha > \beta$.