Номер 2.56, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.56. Упростите выражения:

1) $1 - \sin^2 \alpha$;

2) $1 - \cos^2 \alpha$;

3) $(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)$;

4) $1 + \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$;

5) $\sin \alpha - \sin \alpha \cos^2 \alpha$;

6) $\cos 45^{\circ} \tan 45^{\circ}$;

7) $\sin 85^{\circ} \tan 5^{\circ}$;

8) $1 - \sin 18^{\circ} \cos 72^{\circ}$;

9) $\frac{2 \cos 2^{\circ}}{\sin 88^{\circ} + \cos 2^{\circ}}$;

10) $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha + 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$;

11) $\tan^2 \alpha (2\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha - 1)$;

12) $\cos^2 \alpha + \tan^2 \alpha \cos^2 \alpha$;

13) $\tan^2 \alpha - \sin^2 \alpha \tan^2 \alpha$;

14) $(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)$;

15) $\tan 5^{\circ} \tan 25^{\circ} \tan 45^{\circ} \tan 65^{\circ} \tan 85^{\circ}$.

1) Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Выразим из него $\cos^2\alpha$: $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.
Следовательно, выражение $1 - \sin^2\alpha$ равно $\cos^2\alpha$.
Ответ: $\cos^2\alpha$.

2) Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Выразим из него $\sin^2\alpha$: $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$.
Следовательно, выражение $1 - \cos^2\alpha$ равно $\sin^2\alpha$.
Ответ: $\sin^2\alpha$.

3) Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
$(1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha) = 1^2 - \cos^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$.
Используя основное тригонометрическое тождество, получаем: $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.
Ответ: $\sin^2\alpha$.

4) Сгруппируем слагаемые и используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
$1 + \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 + (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = 1 + 1 = 2$.
Ответ: 2.

5) Вынесем общий множитель $\sin\alpha$ за скобки.
$\sin\alpha - \sin\alpha\cos^2\alpha = \sin\alpha(1 - \cos^2\alpha)$.
Из основного тригонометрического тождества мы знаем, что $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.
Подставим это в выражение: $\sin\alpha \cdot \sin^2\alpha = \sin^3\alpha$.
Ответ: $\sin^3\alpha$.

6) Используем известные значения тригонометрических функций.
$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\tg 45^\circ = 1$.
$\cos 45^\circ \tg 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

7) Используем формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$ и определение тангенса $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
$\sin 85^\circ = \sin(90^\circ - 5^\circ) = \cos 5^\circ$.
Выражение принимает вид: $\cos 5^\circ \tg 5^\circ = \cos 5^\circ \cdot \frac{\sin 5^\circ}{\cos 5^\circ} = \sin 5^\circ$.
Ответ: $\sin 5^\circ$.

8) Используем формулу приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.
$\cos 72^\circ = \cos(90^\circ - 18^\circ) = \sin 18^\circ$.
Выражение принимает вид: $1 - \sin 18^\circ \cdot \sin 18^\circ = 1 - \sin^2 18^\circ$.
По основному тригонометрическому тождеству $1 - \sin^2 18^\circ = \cos^2 18^\circ$.
Ответ: $\cos^2 18^\circ$.

9) Используем формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$ в знаменателе.
$\sin 88^\circ = \sin(90^\circ - 2^\circ) = \cos 2^\circ$.
Подставим в исходное выражение: $\frac{2\cos 2^\circ}{\sin 88^\circ + \cos 2^\circ} = \frac{2\cos 2^\circ}{\cos 2^\circ + \cos 2^\circ} = \frac{2\cos 2^\circ}{2\cos 2^\circ} = 1$.
Ответ: 1.

10) Данное выражение является полным квадратом. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$\sin^4\alpha + \cos^4\alpha + 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = (\sin^2\alpha)^2 + (\cos^2\alpha)^2 + 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2$.
Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем: $(1)^2 = 1$.
Ответ: 1.

11) Упростим выражение в скобках.
$2\cos^2\alpha + \sin^2\alpha - 1 = \cos^2\alpha + \cos^2\alpha + \sin^2\alpha - 1 = \cos^2\alpha + (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) - 1$.
Используя тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем: $\cos^2\alpha + 1 - 1 = \cos^2\alpha$.
Теперь исходное выражение: $\tg^2\alpha \cdot \cos^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} \cdot \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.
Ответ: $\sin^2\alpha$.

12) Вынесем общий множитель $\cos^2\alpha$ за скобки.
$\cos^2\alpha + \tg^2\alpha\cos^2\alpha = \cos^2\alpha(1 + \tg^2\alpha)$.
Используем тождество $1 + \tg^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.
$\cos^2\alpha \cdot \frac{1}{\cos^2\alpha} = 1$.
Альтернативный способ: $\cos^2\alpha + \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\cos^2\alpha = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.
Ответ: 1.

13) Вынесем общий множитель $\tg^2\alpha$ за скобки.
$\tg^2\alpha - \sin^2\alpha\tg^2\alpha = \tg^2\alpha(1 - \sin^2\alpha)$.
По основному тригонометрическому тождеству $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.
$\tg^2\alpha \cdot \cos^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} \cdot \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.
Ответ: $\sin^2\alpha$.

14) Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
$(1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha) = 1^2 - \sin^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.
Используя основное тригонометрическое тождество, получаем: $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.
Ответ: $\cos^2\alpha$.

15) Используем формулу приведения $\tg(90^\circ - \alpha) = \ctg\alpha$ и свойство $\tg\alpha \cdot \ctg\alpha = 1$.
$\tg 85^\circ = \tg(90^\circ - 5^\circ) = \ctg 5^\circ$.
$\tg 65^\circ = \tg(90^\circ - 25^\circ) = \ctg 25^\circ$.
Также известно, что $\tg 45^\circ = 1$.
Подставим в выражение: $\tg 5^\circ \cdot \tg 25^\circ \cdot 1 \cdot \ctg 25^\circ \cdot \ctg 5^\circ$.
Сгруппируем множители: $(\tg 5^\circ \cdot \ctg 5^\circ) \cdot (\tg 25^\circ \cdot \ctg 25^\circ) \cdot 1 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.
Ответ: 1.