Номер 2.52, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.52. Высота равнобедренного треугольника равна 12,4 м, а основание – 40,6 м. Найдите углы и боковую сторону треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Высота $BH$, проведенная к основанию, по условию равна $h = 12,4$ м, а основание $a = AC = 40,6$ м.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, высота $BH$ делит треугольник $ABC$ на два равных прямоугольных треугольника ($ABH$ и $CBH$), а основание $AC$ делит пополам в точке $H$.

Найдем половину основания, которая будет являться катетом $AH$ в прямоугольном треугольнике $ABH$: $AH = \frac{AC}{2} = \frac{40,6}{2} = 20,3$ м.

Боковая сторона

Боковую сторону $AB$ можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABH$, где $AB$ является гипотенузой, а $AH$ и $BH$ — катетами. $AB^2 = AH^2 + BH^2$. Подставим известные значения: $AB^2 = (20,3)^2 + (12,4)^2 = 412,09 + 153,76 = 565,85$. $AB = \sqrt{565,85} \approx 23,7876$ м. Округляя результат до сотых, получаем $AB \approx 23,79$ м.

Ответ: боковая сторона треугольника равна примерно $23,79$ м.

Углы

Углы при основании равнобедренного треугольника равны ($\angle BAC = \angle BCA$). Найдем угол $\angle BAC$ из прямоугольного треугольника $ABH$. Тангенс угла равен отношению противолежащего катета ($BH$) к прилежащему ($AH$): $\text{tg}(\angle BAC) = \frac{BH}{AH} = \frac{12,4}{20,3} \approx 0,6108$. Найдем сам угол через арктангенс: $\angle BAC = \text{arctg}\left(\frac{12,4}{20,3}\right) \approx 31,422^\circ$.

Переведем десятичную часть градуса в минуты: $0,422^\circ \times 60'/\text{град} \approx 25,32'$, что округленно составляет $25'$. Таким образом, углы при основании: $\angle BAC = \angle BCA \approx 31^\circ 25'$.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Угол при вершине $\angle ABC$ равен: $\angle ABC = 180^\circ - 2 \cdot \angle BAC \approx 180^\circ - 2 \cdot (31^\circ 25') = 180^\circ - 62^\circ 50'$. Для удобства вычислений представим $180^\circ$ как $179^\circ 60'$: $\angle ABC = 179^\circ 60' - 62^\circ 50' = 117^\circ 10'$.

Ответ: углы при основании равны примерно $31^\circ 25'$ каждый, а угол при вершине равен примерно $117^\circ 10'$.