Номер 2.58, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.58. Найдите $ \cos \alpha $, $ \text{tg} \alpha $, $ \text{ctg} \alpha $, если:

1) $ \sin \alpha = \frac{1}{2} $;

2) $ \sin \alpha = \frac{40}{41} $;

3) $ \sin \alpha = 0,5 $

Для решения этой задачи мы воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ и определениями тангенса и котангенса: $tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}$ и $ctg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha}$.

Поскольку в условии дано только значение синуса, которое является положительным, угол $\alpha$ может находиться как в первой, так и во второй координатной четверти. В первой четверти ($0 < \alpha < 90^\circ$) все тригонометрические функции ($cos\alpha$, $tg\alpha$, $ctg\alpha$) положительны. Во второй четверти ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$) косинус, тангенс и котангенс отрицательны. Поэтому для каждого пункта существует два возможных набора решений.

1)

Дано: $sin\alpha = \frac{1}{2}$.

1. Находим $cos\alpha$ из основного тригонометрического тождества:

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Отсюда $cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Рассмотрим два случая:

Случай A: Угол $\alpha$ находится в I четверти.

В этом случае $cos\alpha > 0$, поэтому $cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$ctg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$

Случай Б: Угол $\alpha$ находится во II четверти.

В этом случае $cos\alpha < 0$, поэтому $cos\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

$ctg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha} = \frac{-\sqrt{3}/2}{1/2} = -\sqrt{3}$

Ответ: если $\alpha$ в I четверти, то $cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $tg\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $ctg\alpha = \sqrt{3}$; если $\alpha$ во II четверти, то $cos\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $tg\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $ctg\alpha = -\sqrt{3}$.

2)

Дано: $sin\alpha = \frac{40}{41}$.

1. Находим $cos\alpha$:

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (\frac{40}{41})^2 = 1 - \frac{1600}{1681} = \frac{1681 - 1600}{1681} = \frac{81}{1681}$

Отсюда $cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{81}{1681}} = \pm\frac{9}{41}$.

2. Рассмотрим два случая:

Случай A: Угол $\alpha$ находится в I четверти.

В этом случае $cos\alpha > 0$, поэтому $cos\alpha = \frac{9}{41}$.

$tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{40/41}{9/41} = \frac{40}{9}$

$ctg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha} = \frac{9/41}{40/41} = \frac{9}{40}$

Случай Б: Угол $\alpha$ находится во II четверти.

В этом случае $cos\alpha < 0$, поэтому $cos\alpha = -\frac{9}{41}$.

$tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{40/41}{-9/41} = -\frac{40}{9}$

$ctg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha} = \frac{-9/41}{40/41} = -\frac{9}{40}$

Ответ: если $\alpha$ в I четверти, то $cos\alpha = \frac{9}{41}$, $tg\alpha = \frac{40}{9}$, $ctg\alpha = \frac{9}{40}$; если $\alpha$ во II четверти, то $cos\alpha = -\frac{9}{41}$, $tg\alpha = -\frac{40}{9}$, $ctg\alpha = -\frac{9}{40}$.

3)

Дано: $sin\alpha = 0,5$.

Значение $0,5$ равно дроби $\frac{1}{2}$, поэтому это задание полностью идентично заданию из пункта 1).

Ответ: если $\alpha$ в I четверти, то $cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $tg\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $ctg\alpha = \sqrt{3}$; если $\alpha$ во II четверти, то $cos\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $tg\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $ctg\alpha = -\sqrt{3}$.