Номер 2.64, страница 67 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.64. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°, а его основание – $b$. Найдите боковую сторону.

Пусть дан равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны равны a, основание равно b, а угол при вершине, противолежащий основанию, равен $120^\circ$. Необходимо найти длину боковой стороны a. Для решения этой задачи можно использовать несколько способов.

Способ 1: С помощью теоремы косинусов

Теорема косинусов связывает стороны треугольника и косинус одного из его углов. Для нашего треугольника она записывается так:
$b^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)$

Упростим выражение:
$b^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot \cos(120^\circ)$

Значение косинуса $120^\circ$ можно найти через формулы приведения: $\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -{1 \over 2}$.

Подставим значение косинуса в уравнение:
$b^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot \left(-{1 \over 2}\right)$
$b^2 = 2a^2 + a^2$
$b^2 = 3a^2$

Выразим из этого уравнения искомую сторону a:
$a^2 = {b^2 \over 3}$
$a = \sqrt{b^2 \over 3} = {b \over \sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$a = {b \cdot \sqrt{3} \over \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = {b\sqrt{3} \over 3}$
Ответ: ${b\sqrt{3} \over 3}$

Способ 2: Через прямоугольный треугольник

Проведем из вершины с углом $120^\circ$ высоту к основанию b. В равнобедренном треугольнике эта высота является также медианой и биссектрисой.

Таким образом, исходный треугольник разделяется на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них. Его характеристики будут следующими:
- Гипотенуза — это боковая сторона исходного треугольника, равная a.
- Один из катетов равен половине основания, то есть ${b \over 2}$ (так как высота является и медианой).
- Угол, противолежащий этому катету, равен половине угла при вершине, то есть ${120^\circ \over 2} = 60^\circ$ (так как высота является и биссектрисой).

В полученном прямоугольном треугольнике отношение противолежащего катета (${b \over 2}$) к гипотенузе (a) равно синусу угла, противолежащего этому катету ($60^\circ$):
$\sin(60^\circ) = {\text{противолежащий катет} \over \text{гипотенуза}} = {{{b \over 2}} \over a}$

Мы знаем, что $\sin(60^\circ) = {\sqrt{3} \over 2}$. Подставим это значение в уравнение:
${\sqrt{3} \over 2} = {b \over 2a}$

Решим уравнение относительно a:
$a \cdot \sqrt{3} = b$
$a = {b \over \sqrt{3}}$

Избавившись от иррациональности в знаменателе, получаем тот же результат:
$a = {b\sqrt{3} \over 3}$
Ответ: ${b\sqrt{3} \over 3}$