Страница 67 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.64. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°, а его основание – $b$. Найдите боковую сторону.

Пусть дан равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны равны a, основание равно b, а угол при вершине, противолежащий основанию, равен $120^\circ$. Необходимо найти длину боковой стороны a. Для решения этой задачи можно использовать несколько способов.

Способ 1: С помощью теоремы косинусов

Теорема косинусов связывает стороны треугольника и косинус одного из его углов. Для нашего треугольника она записывается так:
$b^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)$

Упростим выражение:
$b^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot \cos(120^\circ)$

Значение косинуса $120^\circ$ можно найти через формулы приведения: $\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -{1 \over 2}$.

Подставим значение косинуса в уравнение:
$b^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot \left(-{1 \over 2}\right)$
$b^2 = 2a^2 + a^2$
$b^2 = 3a^2$

Выразим из этого уравнения искомую сторону a:
$a^2 = {b^2 \over 3}$
$a = \sqrt{b^2 \over 3} = {b \over \sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$a = {b \cdot \sqrt{3} \over \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = {b\sqrt{3} \over 3}$
Ответ: ${b\sqrt{3} \over 3}$

Способ 2: Через прямоугольный треугольник

Проведем из вершины с углом $120^\circ$ высоту к основанию b. В равнобедренном треугольнике эта высота является также медианой и биссектрисой.

Таким образом, исходный треугольник разделяется на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них. Его характеристики будут следующими:
- Гипотенуза — это боковая сторона исходного треугольника, равная a.
- Один из катетов равен половине основания, то есть ${b \over 2}$ (так как высота является и медианой).
- Угол, противолежащий этому катету, равен половине угла при вершине, то есть ${120^\circ \over 2} = 60^\circ$ (так как высота является и биссектрисой).

В полученном прямоугольном треугольнике отношение противолежащего катета (${b \over 2}$) к гипотенузе (a) равно синусу угла, противолежащего этому катету ($60^\circ$):
$\sin(60^\circ) = {\text{противолежащий катет} \over \text{гипотенуза}} = {{{b \over 2}} \over a}$

Мы знаем, что $\sin(60^\circ) = {\sqrt{3} \over 2}$. Подставим это значение в уравнение:
${\sqrt{3} \over 2} = {b \over 2a}$

Решим уравнение относительно a:
$a \cdot \sqrt{3} = b$
$a = {b \over \sqrt{3}}$

Избавившись от иррациональности в знаменателе, получаем тот же результат:
$a = {b\sqrt{3} \over 3}$
Ответ: ${b\sqrt{3} \over 3}$

2.65. Радиус окружности равен 5 м. Из точки, отстоящей от центра на 13 м, проведены касательные к окружности. Найдите длины касательных и угол между ними (рис. 2.24).

Рис. 2.24

Пусть O — центр окружности, A — точка, из которой проведены касательные, B и C — точки касания. Согласно условию задачи, радиус окружности $r = OB = OC = 5$ м, а расстояние от точки A до центра $AO = 13$ м.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABO$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Следовательно, угол $\angle OBA = 90^{\circ}$. Это означает, что треугольник $\triangle ABO$ является прямоугольным, где $AO$ — гипотенуза ($AO=13$ м), $OB$ — катет ($OB=5$ м), а $AB$ — второй катет, длину которого нам нужно найти.
Применим теорему Пифагора: $OB^2 + AB^2 = AO^2$.
Выразим из формулы длину катета $AB$:
$AB^2 = AO^2 - OB^2$
Подставим известные значения:
$AB^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
$AB = \sqrt{144} = 12$ м.
Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой. Таким образом, длина второй касательной $AC$ также равна 12 м.
Ответ: Длины касательных равны 12 м.

Угол между касательными — это $\angle BAC$. Линия $AO$, соединяющая точку A с центром окружности O, является биссектрисой этого угла. Это следует из того, что прямоугольные треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle ACO$ равны по катету и гипотенузе ($OB = OC = r$, а $AO$ — общая гипотенуза).
Следовательно, $\angle BAC = 2 \cdot \angle OAB$.
Обозначим угол $\angle OAB$ как $\alpha$ и найдем его из прямоугольного треугольника $\triangle ABO$. Мы знаем длины всех его сторон: катет $OB = 5$ м, катет $AB = 12$ м и гипотенуза $AO = 13$ м.
Для нахождения угла можно использовать любую тригонометрическую функцию. Возьмем синус:
$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OB}{AO} = \frac{5}{13}$
Отсюда угол $\alpha$ равен арксинусу этого значения:
$\alpha = \arcsin\left(\frac{5}{13}\right)$
Полный угол между касательными $\angle BAC$ равен $2\alpha$:
$\angle BAC = 2\arcsin\left(\frac{5}{13}\right)$
Для получения численного значения в градусах вычислим: $\sin(\alpha) \approx 0.3846$, что соответствует углу $\alpha \approx 22.62^{\circ}$.
Тогда искомый угол $\angle BAC \approx 2 \cdot 22.62^{\circ} \approx 45.24^{\circ}$.
Ответ: Угол между касательными равен $2 \arcsin\left(\frac{5}{13}\right)$, что приблизительно составляет $45.24^{\circ}$.

2.66. В треугольнике больший угол при основании равен 45°, а высота делит основание на части длиной 20 см и 21 см. Найдите большую боковую сторону.

Пусть дан треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Проведем высоту $BH$ к основанию. Высота делит основание $AC$ на два отрезка, $AH$ и $HC$, длины которых по условию равны 20 см и 21 см. Высота $BH$ также делит исходный треугольник на два прямоугольных треугольника: $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$.

Углы при основании — это $\angle BAC$ и $\angle BCA$. Обозначим их как $\alpha$ и $\gamma$ соответственно. По условию, больший из этих углов равен $45^\circ$. В прямоугольных треугольниках $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$ имеем: $tg(\alpha) = \frac{BH}{AH}$ и $tg(\gamma) = \frac{BH}{HC}$.

Сравним углы $\alpha$ и $\gamma$. Если один угол больше другого, например $\alpha > \gamma$, то и его тангенс больше (поскольку углы острые): $tg(\alpha) > tg(\gamma)$. Это означает, что $\frac{BH}{AH} > \frac{BH}{HC}$, откуда следует, что $AH < HC$. Таким образом, мы приходим к выводу, что большему углу при основании соответствует меньший прилежащий к нему отрезок основания.

Так как по условию больший угол при основании равен $45^\circ$, а отрезки основания равны 20 см и 21 см, то угол в $45^\circ$ должен прилегать к меньшему отрезку, то есть к отрезку длиной 20 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого один из катетов — это отрезок основания длиной 20 см, а прилежащий к нему острый угол равен $45^\circ$. Пусть это будет $\triangle ABH$, где $AH = 20$ см и $\angle BAH = 45^\circ$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то второй острый угол $\angle ABH = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, $\triangle ABH$ — равнобедренный, и его катеты равны: $BH = AH = 20$ см.

Теперь мы можем найти длины боковых сторон $AB$ и $BC$, используя теорему Пифагора. Для $\triangle ABH$: $AB^2 = AH^2 + BH^2 = 20^2 + 20^2 = 400 + 400 = 800$. $AB = \sqrt{800} = \sqrt{400 \cdot 2} = 20\sqrt{2}$ см.

Для $\triangle CBH$ (где $HC = 21$ см и $BH = 20$ см): $BC^2 = HC^2 + BH^2 = 21^2 + 20^2 = 441 + 400 = 841$. $BC = \sqrt{841} = 29$ см.

Боковые стороны треугольника равны $20\sqrt{2}$ см и 29 см. Для определения большей стороны сравним их квадраты: $(20\sqrt{2})^2 = 800$ и $29^2 = 841$. Поскольку $841 > 800$, то $29 > 20\sqrt{2}$.

Следовательно, большая боковая сторона имеет длину 29 см.

Ответ: 29 см.

2.67. Охотник, стоящий на высоте 30 м, видит зверя, стоящего во впадине, под углом $20^\circ$. Найдите расстояние между охотником и зверем.

Для решения этой задачи представим ситуацию в виде прямоугольного треугольника.

• Один катет этого треугольника — это высота, на которой находится охотник относительно зверя. Обозначим ее как $h$. По условию, $h = 30$ м.
• Угол, под которым охотник видит зверя, — это угол склонения (угол между горизонталью и линией взгляда вниз). Обозначим его как $\alpha$. По условию, $\alpha = 20^\circ$. В нашем прямоугольном треугольнике этот угол будет равен углу при вершине, где находится зверь (как накрест лежащий угол).
• Расстояние между охотником и зверем — это гипотенуза нашего треугольника. Обозначим ее как $d$.

Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник, в котором известен противолежащий катет $h$ к углу $\alpha$ и нужно найти гипотенузу $d$.

Для этого мы можем использовать тригонометрическую функцию синус, которая определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin(\alpha) = \frac{h}{d}$

Выразим из этой формулы искомое расстояние $d$:

$d = \frac{h}{\sin(\alpha)}$

Теперь подставим известные значения:

$d = \frac{30}{\sin(20^\circ)}$

Используя калькулятор, найдем значение синуса 20 градусов:

$\sin(20^\circ) \approx 0.34202$

Теперь вычислим расстояние $d$:

$d \approx \frac{30}{0.34202} \approx 87.714$ м

Округлим результат до одного знака после запятой.

Ответ: 87,7 м.

2.68. Определите угол наклона шоссейной дороги, если на расстоянии 200 м высота подъема равна 6 м.

Для решения этой задачи мы можем представить участок дороги как гипотенузу прямоугольного треугольника. Высота подъема будет одним из катетов этого треугольника, а искомый угол наклона — это угол, противолежащий этому катету.

Обозначим:

• $L$ — расстояние, пройденное по дороге (гипотенуза), $L = 200 \text{ м}$.
• $h$ — высота подъема (противолежащий катет), $h = 6 \text{ м}$.
• $\alpha$ — искомый угол наклона дороги.

Синус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы.

Формула для синуса угла $\alpha$ выглядит так:

$\sin(\alpha) = \frac{h}{L}$

Подставим в формулу данные из условия задачи:

$\sin(\alpha) = \frac{6 \text{ м}}{200 \text{ м}} = 0.03$

Чтобы найти сам угол $\alpha$, необходимо вычислить арксинус полученного значения:

$\alpha = \arcsin(0.03)$

Используя калькулятор, находим значение угла в градусах:

$\alpha \approx 1.7188^\circ$

Округлив до сотых, получаем:

$\alpha \approx 1.72^\circ$

Ответ: Угол наклона шоссейной дороги составляет примерно $1.72^\circ$.

2.69. Около окружности с диаметром 2 см описана равнобедренная трапеция. Определите среднюю линию трапеции, если углы при основании равны по $45^\circ$.

Пусть дана равнобедренная трапеция, описанная около окружности. Обозначим ее основания как $a$ и $b$, а боковую сторону как $c$.

Основное свойство описанного четырехугольника заключается в том, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает: $a + b = c + c = 2c$.

Средняя линия трапеции, обозначим ее $m$, по определению равна полусумме оснований: $m = \frac{a + b}{2}$.

Подставив в формулу средней линии свойство описанной трапеции, получаем: $m = \frac{2c}{2} = c$. Таким образом, средняя линия описанной равнобедренной трапеции равна ее боковой стороне. Задача сводится к нахождению длины боковой стороны.

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности. По условию задачи, диаметр $d = 2$ см, следовательно, высота трапеции $h = 2$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $c$ (в качестве гипотенузы), высотой трапеции $h$ (в качестве катета) и частью большего основания. Угол при основании трапеции по условию равен $45^\circ$. Этот угол является одним из острых углов в нашем прямоугольном треугольнике.

Связь между гипотенузой $c$, противолежащим катетом $h$ и углом $\alpha$ в прямоугольном треугольнике выражается через синус: $\sin(\alpha) = \frac{h}{c}$.

Подставим известные нам значения: $h = 2$ см и $\alpha = 45^\circ$: $\sin(45^\circ) = \frac{2}{c}$.

Так как $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{c}$.

Выразим отсюда боковую сторону $c$: $c = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Поскольку мы установили, что средняя линия $m$ равна боковой стороне $c$, то: $m = 2\sqrt{2}$ см.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см.

2.70. Берег реки, ширина которой равна 40 м, представляет собой 30 метровый обрыв.

1) Каково расстояние от наблюдателя, сидящего на обрыве, до другого берега реки?

2) Наблюдателю кажется, что лодка стоит посередине реки (лодка и берега реки видны наблюдателю под одинаковыми углами). Каково расстояние от лодки до берегов реки фактически?

1)

Для решения задачи представим ситуацию в виде геометрической схемы. Пусть точка O — местоположение наблюдателя на краю обрыва. Точка A — основание обрыва на том же берегу (прямо под наблюдателем). Точка B — противоположный берег реки на уровне воды.

Таким образом, точки O, A и B образуют прямоугольный треугольник OAB с прямым углом при вершине A.

• Катет OA — это высота обрыва, $OA = 30$ м.
• Катет AB — это ширина реки, $AB = 40$ м.

Расстояние от наблюдателя до другого берега реки — это длина гипотенузы OB этого треугольника. Найдем ее по теореме Пифагора:

$OB^2 = OA^2 + AB^2$

$OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50$ м.

Ответ: 50 м.

2)

Пусть лодка находится в точке L на поверхности воды, то есть на отрезке AB. Условие, что «лодка и берега реки видны наблюдателю под одинаковыми углами», означает, что угол зрения на участок от ближнего берега до лодки ($\angle AOL$) равен углу зрения на участок от лодки до дальнего берега ($\angle LOB$).

Следовательно, луч OL является биссектрисой угла AOB в треугольнике OAB.

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае, биссектриса OL делит сторону AB на отрезки AL (расстояние от лодки до ближнего берега) и LB (расстояние от лодки до дальнего берега) так, что выполняется соотношение:

$\frac{AL}{LB} = \frac{OA}{OB}$

Из первого пункта мы знаем длины сторон OA и OB: $OA = 30$ м и $OB = 50$ м. Подставим эти значения в пропорцию:

$\frac{AL}{LB} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}$

Из этого соотношения следует, что $AL = \frac{3}{5} LB$.

Сумма отрезков AL и LB равна ширине реки:

$AL + LB = AB = 40$ м.

Теперь подставим выражение для AL в это уравнение:

$\frac{3}{5} LB + LB = 40$

$\frac{8}{5} LB = 40$

$LB = 40 \cdot \frac{5}{8} = 5 \cdot 5 = 25$ м.

Зная LB, найдем AL:

$AL = 40 - LB = 40 - 25 = 15$ м.

Таким образом, фактическое расстояние от лодки до ближнего берега составляет 15 м, а до дальнего — 25 м.

Ответ: расстояние от лодки до ближнего берега равно 15 м, а до дальнего — 25 м.