Страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.71. Даны катет $a$ и противолежащий острый угол $\alpha$ прямоугольного треугольника. Найдите другие стороны и углы этого треугольника.

1) $a = 5$ см, $\alpha = 30^\circ$;

2) $a = \sqrt{2}$ дм, $\alpha = 45^\circ$;

3) $a = \sqrt{3}$ см, $\alpha = 60^\circ$.

Обозначим стороны и углы прямоугольного треугольника: $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза, $\alpha$ — острый угол, противолежащий катету $a$, $\beta$ — острый угол, противолежащий катету $b$, и прямой угол $\gamma = 90°$.

Для решения задачи воспользуемся следующими соотношениями в прямоугольном треугольнике:

• Сумма острых углов: $\alpha + \beta = 90°$.
• Определения тригонометрических функций: $\sin \alpha = \frac{a}{c}$, $\cos \alpha = \frac{b}{c}$, $\tan \alpha = \frac{a}{b}$.

Из этих формул можно выразить неизвестные стороны и углы:

• $\beta = 90° - \alpha$
• $c = \frac{a}{\sin \alpha}$
• $b = \frac{a}{\tan \alpha}$ (или $b = c \cdot \cos \alpha$)

1) Дано: $a = 5$ см, $\alpha = 30°$.

Решение:

1. Находим второй острый угол $\beta$:

$\beta = 90° - \alpha = 90° - 30° = 60°$.

2. Находим гипотенузу $c$:

$c = \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{5}{\sin 30°}$.

Поскольку значение $\sin 30° = \frac{1}{2}$, получаем:

$c = \frac{5}{1/2} = 10$ см.

3. Находим второй катет $b$:

$b = \frac{a}{\tan \alpha} = \frac{5}{\tan 30°}$.

Поскольку значение $\tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:

$b = \frac{5}{1/\sqrt{3}} = 5\sqrt{3}$ см.

Ответ: второй острый угол $\beta = 60°$, второй катет $b = 5\sqrt{3}$ см, гипотенуза $c = 10$ см.

2) Дано: $a = \sqrt{2}$ дм, $\alpha = 45°$.

Решение:

1. Находим второй острый угол $\beta$:

$\beta = 90° - \alpha = 90° - 45° = 45°$.

2. Так как углы при гипотенузе равны ($\alpha = \beta = 45°$), треугольник является равнобедренным. Следовательно, его катеты равны:

$b = a = \sqrt{2}$ дм.

3. Находим гипотенузу $c$:

$c = \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{\sqrt{2}}{\sin 45°}$.

Поскольку значение $\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$c = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2} = 2$ дм.

Ответ: второй острый угол $\beta = 45°$, второй катет $b = \sqrt{2}$ дм, гипотенуза $c = 2$ дм.

3) Дано: $a = \sqrt{3}$ см, $\alpha = 60°$.

Решение:

1. Находим второй острый угол $\beta$:

$\beta = 90° - \alpha = 90° - 60° = 30°$.

2. Находим гипотенузу $c$:

$c = \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 60°}$.

Поскольку значение $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$c = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = 2$ см.

3. Находим второй катет $b$:

$b = \frac{a}{\tan \alpha} = \frac{\sqrt{3}}{\tan 60°}$.

Поскольку значение $\tan 60° = \sqrt{3}$, получаем:

$b = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$ см.

Ответ: второй острый угол $\beta = 30°$, второй катет $b = 1$ см, гипотенуза $c = 2$ см.

2.72. Даны катет $a$ и прилежащий острый угол $\beta$ прямоугольного треугольника. Найдите другие стороны и углы этого треугольника.

1) $a = 6$ см, $\beta = 30^\circ$;

2) $a = 4$ см, $\beta = 45^\circ$;

3) $a = 8$ см, $\beta = 60^\circ$.

В задаче дан прямоугольный треугольник. Обозначим его катеты как $a$ и $b$, гипотенузу как $c$. Углы, противолежащие сторонам $a$ и $b$, обозначим как $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Прямой угол равен $90^\circ$.
По условию, дан катет $a$ и прилежащий к нему острый угол. Этот угол не может быть $\alpha$ (так как $\alpha$ противолежит катету $a$), следовательно, это угол $\beta$. Таким образом, нам известны катет $a$, прилежащий к нему угол $\beta$ и прямой угол $90^\circ$. Нам нужно найти второй острый угол $\alpha$, второй катет $b$ и гипотенузу $c$.

Для решения мы будем использовать следующие соотношения в прямоугольном треугольнике:
1. Сумма острых углов: $\alpha + \beta = 90^\circ$. Отсюда $\alpha = 90^\circ - \beta$.
2. Тангенс острого угла: $\tan(\beta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{b}{a}$. Отсюда $b = a \cdot \tan(\beta)$.
3. Косинус острого угла: $\cos(\beta) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c}$. Отсюда $c = \frac{a}{\cos(\beta)}$.

1) Дано: катет $a = 6$ см, прилежащий острый угол $\beta = 30^\circ$.

Находим второй острый угол $\alpha$:
$\alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
Находим второй катет $b$ (противолежащий углу $\beta$):
$b = a \cdot \tan(\beta) = 6 \cdot \tan(30^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.
Находим гипотенузу $c$:
$c = \frac{a}{\cos(\beta)} = \frac{6}{\cos(30^\circ)} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.
Ответ: другой острый угол равен $60^\circ$, второй катет равен $2\sqrt{3}$ см, гипотенуза равна $4\sqrt{3}$ см.

2) Дано: катет $a = 4$ см, прилежащий острый угол $\beta = 45^\circ$.

Находим второй острый угол $\alpha$:
$\alpha = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
Поскольку $\alpha = \beta$, треугольник является равнобедренным, следовательно, его катеты равны: $b=a=4$ см.
Также можем вычислить через тангенс:
$b = a \cdot \tan(\beta) = 4 \cdot \tan(45^\circ) = 4 \cdot 1 = 4$ см.
Находим гипотенузу $c$:
$c = \frac{a}{\cos(\beta)} = \frac{4}{\cos(45^\circ)} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.
Ответ: другой острый угол равен $45^\circ$, второй катет равен $4$ см, гипотенуза равна $4\sqrt{2}$ см.

3) Дано: катет $a = 8$ см, прилежащий острый угол $\beta = 60^\circ$.

Находим второй острый угол $\alpha$:
$\alpha = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
Находим второй катет $b$ (противолежащий углу $\beta$):
$b = a \cdot \tan(\beta) = 8 \cdot \tan(60^\circ) = 8 \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см.
Находим гипотенузу $c$:
$c = \frac{a}{\cos(\beta)} = \frac{8}{\cos(60^\circ)} = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 16$ см.
Ответ: другой острый угол равен $30^\circ$, второй катет равен $8\sqrt{3}$ см, гипотенуза равна $16$ см.

2.73. Даны катеты $a$ и $b$ прямоугольного треугольника. Найдите гипотенузу и углы треугольника.

1) $a = 4$ см, $b = 3$ см;

2) $a = 12$ см, $b = 5$ см;

3) $a = b = 3\sqrt{2}$ см.

1) Даны катеты $a = 4$ см и $b = 3$ см.

Для нахождения гипотенузы $c$ используем теорему Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$.

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

Обозначим углы, противолежащие катетам $a$ и $b$, как $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Третий угол, прямой, равен $90^\circ$.

Тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $\tan(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{4}{3}$.

Отсюда, $\alpha = \arctan(\frac{4}{3})$.

Тангенс угла $\beta$ равен: $\tan(\beta) = \frac{b}{a} = \frac{3}{4}$.

Отсюда, $\beta = \arctan(\frac{3}{4})$.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$: $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Приближенные значения углов: $\alpha \approx 53.13^\circ$, $\beta \approx 36.87^\circ$.

Ответ: гипотенуза равна 5 см, углы треугольника равны $90^\circ$, $\arctan(\frac{4}{3})$ (приблизительно $53.13^\circ$) и $\arctan(\frac{3}{4})$ (приблизительно $36.87^\circ$).

2) Даны катеты $a = 12$ см и $b = 5$ см.

По теореме Пифагора находим гипотенузу $c$:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.

Найдем острые углы $\alpha$ (противолежащий катету $a$) и $\beta$ (противолежащий катету $b$).

$\tan(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{12}{5} = 2.4$.

$\alpha = \arctan(\frac{12}{5})$.

$\tan(\beta) = \frac{b}{a} = \frac{5}{12}$.

$\beta = \arctan(\frac{5}{12})$.

Приближенные значения углов: $\alpha \approx 67.38^\circ$, $\beta \approx 22.62^\circ$.

Ответ: гипотенуза равна 13 см, углы треугольника равны $90^\circ$, $\arctan(\frac{12}{5})$ (приблизительно $67.38^\circ$) и $\arctan(\frac{5}{12})$ (приблизительно $22.62^\circ$).

3) Даны катеты $a = b = 3\sqrt{2}$ см.

Так как катеты равны ($a=b$), данный треугольник является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{18 + 18} = \sqrt{36} = 6$ см.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны между собой. Так как их сумма равна $90^\circ$, то каждый из них равен $90^\circ / 2 = 45^\circ$.

Проверим через тангенс: $\tan(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = 1$, что соответствует углу $\alpha = 45^\circ$. Аналогично для угла $\beta$.

Ответ: гипотенуза равна 6 см, углы треугольника равны $90^\circ$, $45^\circ$ и $45^\circ$.

2.74. Даны гипотенуза $c$ и острый угол $\alpha$ прямоугольного треугольника. Найдите катеты и углы этого треугольника.

1) $c = 16$ см, $\alpha = 30^\circ$;

2) $c = 4\sqrt{2}$ см, $\alpha = 45^\circ$;

3) $c = 6\sqrt{3}$ см, $\alpha = 60^\circ$.

1) Дано: гипотенуза $c = 16$ см, острый угол $α = 30°$.

В прямоугольном треугольнике один угол по определению равен $90°$. Второй острый угол, обозначим его $β$, можно найти из свойства, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90°$:
$β = 90° - α = 90° - 30° = 60°$.
Теперь найдем длины катетов. Обозначим катет, противолежащий углу $α$, как $a$, и катет, прилежащий к углу $α$, как $b$.
Катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла:
$a = c \cdot \sin \alpha = 16 \cdot \sin 30° = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$ см.
Катет, прилежащий к углу, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла:
$b = c \cdot \cos \alpha = 16 \cdot \cos 30° = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ см.
Ответ: второй острый угол равен $60°$, катеты равны $8$ см и $8\sqrt{3}$ см.

2) Дано: гипотенуза $c = 4\sqrt{2}$ см, острый угол $α = 45°$.

Прямой угол треугольника равен $90°$. Находим второй острый угол $β$:
$β = 90° - α = 90° - 45° = 45°$.
Поскольку оба острых угла равны $45°$, треугольник является равнобедренным, и его катеты $a$ и $b$ равны.
Найдем катеты:
$a = c \cdot \sin \alpha = 4\sqrt{2} \cdot \sin 45° = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4 \cdot 2}{2} = 4$ см.
Так как $a = b$, то $b = 4$ см.
Ответ: второй острый угол равен $45°$, катеты равны $4$ см и $4$ см.

3) Дано: гипотенуза $c = 6\sqrt{3}$ см, острый угол $α = 60°$.

Прямой угол треугольника равен $90°$. Находим второй острый угол $β$:
$β = 90° - α = 90° - 60° = 30°$.
Найдем длины катетов $a$ (противолежащий углу $α$) и $b$ (прилежащий к углу $α$).
$a = c \cdot \sin \alpha = 6\sqrt{3} \cdot \sin 60° = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$ см.
$b = c \cdot \cos \alpha = 6\sqrt{3} \cdot \cos 60° = 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 3\sqrt{3}$ см.
Ответ: второй острый угол равен $30°$, катеты равны $9$ см и $3\sqrt{3}$ см.

2.75. Даны катет $a$ и гипотенуза $c$ с прямоугольного треугольника.

Найдите второй катет и углы треугольника.

1) $a = 8 \text{ см}$, $c = 10 \text{ см}$;

2) $a = 5 \text{ см}$, $c = 13 \text{ см}$;

3) $a = 6 \text{ см}$, $c = 9 \text{ см}$.

В задачах 2.76 – 2.80 необходимые построения нужно выполнять на листе А4, предварительно объединившись в группы.

Для нахождения неизвестного катета и углов прямоугольного треугольника воспользуемся теоремой Пифагора и тригонометрическими соотношениями.Пусть $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Тогда $a^2 + b^2 = c^2$. Отсюда второй катет $b = \sqrt{c^2 - a^2}$.Острые углы треугольника, $\alpha$ (противолежащий катету $a$) и $\beta$ (противолежащий катету $b$), можно найти из соотношений $\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$ и $\beta = 90^\circ - \alpha$. Один из углов по определению равен $90^\circ$.

1) a = 8 см, c = 10 см;

Находим второй катет $b$ по теореме Пифагора:
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

Находим острые углы. Угол $\alpha$, противолежащий катету $a$:
$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{8}{10} = 0.8$.
$\alpha = \arcsin(0.8) \approx 53.1^\circ$.
Второй острый угол $\beta$ равен:
$\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 53.1^\circ = 36.9^\circ$.

Ответ: второй катет равен 6 см, углы треугольника примерно равны $53.1^\circ$, $36.9^\circ$ и $90^\circ$.

2) a = 5 см, c = 13 см;

Находим второй катет $b$ по теореме Пифагора:
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Находим острые углы. Угол $\alpha$, противолежащий катету $a$:
$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{5}{13}$.
$\alpha = \arcsin(\frac{5}{13}) \approx 22.6^\circ$.
Второй острый угол $\beta$ равен:
$\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 22.6^\circ = 67.4^\circ$.

Ответ: второй катет равен 12 см, углы треугольника примерно равны $22.6^\circ$, $67.4^\circ$ и $90^\circ$.

3) a = 6 см, c = 9 см.

Находим второй катет $b$ по теореме Пифагора:
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{9^2 - 6^2} = \sqrt{81 - 36} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см.
Приближенное значение $b \approx 6.71$ см.

Находим острые углы. Угол $\alpha$, противолежащий катету $a$:
$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
$\alpha = \arcsin(\frac{2}{3}) \approx 41.8^\circ$.
Второй острый угол $\beta$ равен:
$\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 41.8^\circ = 48.2^\circ$.

Ответ: второй катет равен $3\sqrt{5}$ см (примерно 6.71 см), углы треугольника примерно равны $41.8^\circ$, $48.2^\circ$ и $90^\circ$.

2.76. Постройте треугольник из задачи 2.71.

Задача 2.76 является задачей на построение, условия которой, по-видимому, определены в задаче 2.71. Стандартная формулировка задачи 2.71 в данном контексте — это построение треугольника по стороне, сумме двух других сторон и высоте, проведенной к первой стороне. Таким образом, требуется построить треугольник $ABC$ по заданным отрезкам: стороне $a$ (длина $BC$), сумме сторон $l = b+c$ (где $b=AC$, $c=AB$) и высоте $h_a$ (опущенной из вершины $A$ на сторону $BC$).

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Поместим его в систему координат для определения взаимного расположения его вершин. Пусть сторона $BC$ лежит на оси абсцисс, а ее середина $M$ совпадает с началом координат. Тогда вершины $B$ и $C$ имеют координаты $B(-a/2, 0)$ и $C(a/2, 0)$.

Высота из вершины $A$ на сторону $BC$ равна $h_a$. Это означает, что вершина $A$ лежит на прямой, параллельной оси абсцисс, на расстоянии $h_a$ от нее. Пусть уравнение этой прямой $y = h_a$. Обозначим абсциссу точки $A$ через $x_A$. Таким образом, $A(x_A, h_a)$. Расстояние от $A$ до середины $M$ стороны $BC$ по горизонтали равно $|x_A|$.

По условию, сумма сторон $AB + AC = l$. Выразим длины этих сторон через координаты вершин:

$AB = \sqrt{(x_A - (-a/2))^2 + (h_a - 0)^2} = \sqrt{(x_A + a/2)^2 + h_a^2}$

$AC = \sqrt{(x_A - a/2)^2 + (h_a - 0)^2} = \sqrt{(x_A - a/2)^2 + h_a^2}$

Подставим эти выражения в условие $AB + AC = l$:

$\sqrt{(x_A + a/2)^2 + h_a^2} + \sqrt{(x_A - a/2)^2 + h_a^2} = l$

Это уравнение описывает эллипс с фокусами в точках $B$ и $C$. Нам нужно найти точку $A$ на прямой $y=h_a$, удовлетворяющую этому уравнению. Решим уравнение относительно $x_A$. Последовательно возводя в квадрат и упрощая (подробные алгебраические преобразования опущены для краткости), получим выражение для $x_A^2$:

$x_A^2 = \left(\frac{l}{2}\right)^2 \cdot \frac{l^2 - a^2 - 4h_a^2}{l^2 - a^2}$

Это выражение для квадрата расстояния от середины стороны $BC$ до основания высоты $AH$ (если $H$ - основание высоты, то $x_A$ - это координата $H$ относительно $M$, т.е. $x_A = MH$). Величину $x_A$ можно построить циркулем и линейкой, если известны $a$, $l$ и $h_a$.

Построение

Построение выполняется в два этапа: сначала строим отрезок длиной $x_A$, затем строим сам треугольник.

1. Построение вспомогательного отрезка $x_A$:

а) Построим отрезок $d_1$ такой, что $d_1^2 = l^2 - a^2$. Для этого строим прямоугольный треугольник с гипотенузой $l$ и катетом $a$. Второй катет будет иметь длину $d_1$. (Это возможно, если $l>a$).

б) Построим отрезок $d_2$ такой, что $d_2^2 = d_1^2 - (2h_a)^2 = l^2 - a^2 - 4h_a^2$. Для этого строим прямоугольный треугольник с гипотенузой $d_1$ и катетом $2h_a$. Второй катет будет иметь длину $d_2$. (Это возможно, если $d_1 > 2h_a$).

в) Теперь нам нужно построить отрезок $x_A$, исходя из соотношения $x_A = \frac{l}{2} \cdot \frac{d_2}{d_1}$. Это делается с помощью построения четвертого пропорционального отрезка. На сторонах произвольного угла от его вершины $O$ откладываем отрезки $OD_1 = d_1$ и $OD_2 = d_2$ на одной стороне, и отрезок $OL = l/2$ на другой. Проводим прямую $D_1L$. Затем проводим прямую через точку $D_2$ параллельно $D_1L$. Точка $X_A$ пересечения этой прямой со второй стороной угла даст искомый отрезок $OX_A = x_A$.

2. Построение треугольника $ABC$:

а) Проводим произвольную прямую и отмечаем на ней точку $M$.

б) На этой прямой от точки $M$ в обе стороны откладываем отрезки $MB=MC=a/2$. Получаем сторону $BC$ искомого треугольника.

в) В точке $M$ восстанавливаем перпендикуляр к прямой $BC$.

г) На перпендикуляре от точки $M$ откладываем отрезок $MH=x_A$ (построенный на шаге 1), получаем точку $H$ — основание высоты.

д) В точке $H$ восстанавливаем перпендикуляр к прямой $BC$ (этот перпендикуляр будет параллелен прямой, построенной в шаге в). На этом перпендикуляре откладываем отрезок $HA = h_a$. Получаем вершину $A$.

е) Соединяем точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

По построению, сторона $BC = BM + MC = a/2 + a/2 = a$. Высота $AH$ перпендикулярна $BC$ и ее длина равна $h_a$. Расстояние $MH$ между серединой стороны $BC$ и основанием высоты $H$ равно $x_A$. Согласно анализу, это значение $x_A$ было вычислено так, чтобы удовлетворять условию $AB + AC = l$. Следовательно, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение не при любых значениях $a$, $l$ и $h_a$.

1. Из неравенства треугольника следует, что $b+c > a$, то есть $l > a$. Это условие необходимо для построения отрезка $d_1 = \sqrt{l^2 - a^2}$.

2. Для построения отрезка $d_2 = \sqrt{d_1^2 - (2h_a)^2}$ необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $d_1^2 \ge (2h_a)^2$, что равносильно $l^2 - a^2 \ge 4h_a^2$, или $l^2 \ge a^2 + 4h_a^2$.

Таким образом, задача имеет решение тогда и только тогда, когда выполняются условия $l > a$ и $l^2 \ge a^2 + 4h_a^2$.

- Если $l^2 > a^2 + 4h_a^2$, то $x_A > 0$. Точку $H$ можно отложить от $M$ в любую из двух сторон, что дает два симметричных (конгруэнтных) треугольника. В этом случае задача имеет единственное решение с точностью до конгруэнтности.

- Если $l^2 = a^2 + 4h_a^2$, то $x_A = 0$. Точка $H$ совпадает с $M$, и треугольник является равнобедренным ($AB = AC$). Решение единственно.

- Если $l^2 < a^2 + 4h_a^2$, то действительного значения для $d_2$ не существует, и задача не имеет решений.

Ответ: Искомый треугольник строится по алгоритму, описанному в разделе "Построение". Существование и единственность решения определяются соотношениями между данными отрезками $a$, $l$ и $h_a$, как указано в разделе "Исследование".

2.77. Постройте треугольник из задачи 2.72.

Задача 2.77 просит построить треугольник, используя данные из задачи 2.72. В классических задачниках по геометрии задача 2.72 обычно предлагает доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, выходящих из той же вершины. Исходя из этого, задача 2.77 на построение формулируется следующим образом: построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.

Пусть нам нужно построить треугольник $ABC$ по двум сторонам $AB = c$, $AC = b$ и медиане $AM = m_a$, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ уже построен. Проведем медиану $AM$. На продолжении медианы $AM$ за точку $M$ отложим отрезок $MD$, равный по длине отрезку $AM$. В результате получим отрезок $AD$ длиной $2m_a$.

Рассмотрим четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$. По нашему построению, точка $M$ также является серединой отрезка $AD$. Поскольку диагонали четырехугольника $ABDC$ пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, этот четырехугольник является параллелограммом.

Основное свойство параллелограмма заключается в том, что его противоположные стороны равны. Следовательно, $BD = AC = b$ и $CD = AB = c$.

Теперь обратим внимание на треугольник $ABD$. Длины всех его трех сторон нам известны: $AB = c$, $BD = b$ и $AD = 2m_a$. Такой треугольник мы можем построить по трем сторонам с помощью циркуля и линейки.

Как только треугольник $ABD$ будет построен, мы сможем найти положение вершины $C$. Точка $M$ — это середина отрезка $AD$. Соединив точки $B$ и $M$, мы получим прямую, на которой лежит сторона $BC$. Поскольку $M$ — середина $BC$, вершина $C$ находится на луче $BM$ на таком же расстоянии от $M$, как и вершина $B$.

Для того чтобы построение треугольника $ABD$ было возможно, длины его сторон ($b$, $c$, и $2m_a$) должны удовлетворять неравенству треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. То есть, должны выполняться условия: $b + c > 2m_a$, $b + 2m_a > c$ и $c + 2m_a > b$. Эти три неравенства можно объединить в одно двойное неравенство: $|b-c| < 2m_a < b+c$. Первое из этих неравенств, $m_a < (b+c)/2$, как раз и является утверждением из задачи 2.72.

Построение

1. С помощью линейки строим отрезок $AD$ длиной, равной $2m_a$.

2. Из центра в точке $A$ строим окружность с радиусом $c$.

3. Из центра в точке $D$ строим окружность с радиусом $b$.

4. Точку пересечения этих двух окружностей обозначаем как $B$. (Если окружности не пересекаются или касаются, то треугольник с заданными параметрами не существует или является вырожденным).

5. Соединяем точки $A$, $B$ и $D$, получая вспомогательный треугольник $ABD$.

6. Находим середину отрезка $AD$ и обозначаем ее как $M$. Для этого можно построить серединный перпендикуляр к отрезку $AD$.

7. Проводим луч из точки $B$ через точку $M$. На этом луче откладываем отрезок $MC$, равный по длине отрезку $BM$.

8. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ соответствует заданным условиям.

• Сторона $AB$ имеет длину $c$ по построению (шаги 2 и 4).
• Отрезок $AM$ является медианой, так как $M$ — середина стороны $BC$ по построению (шаг 7).
• Длина медианы $AM$ равна половине длины отрезка $AD$ (шаг 6), который был построен длиной $2m_a$ (шаг 1). Следовательно, $AM = m_a$.
• Рассмотрим четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$, которая является серединой каждой из них. Это означает, что $ABDC$ — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $AC = BD$. Длина $BD$ по построению равна $b$ (шаги 3 и 4). Таким образом, $AC = b$.

Ответ: Построение треугольника по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне, выполняется с помощью метода удвоения медианы. Сначала строится вспомогательный треугольник со сторонами, равными одной из данных сторон, второй данной стороне и удвоенной медиане. Затем, используя свойства параллелограмма, достраивается искомый треугольник, как описано в разделе "Построение".

2.78. Постройте треугольник из задачи 2.73.

2.79. П...

Для построения треугольника по стороне $a$, противолежащему углу $\alpha$ и медиане $m_b$, проведенной к другой стороне, воспользуемся методом геометрических мест.

Пусть нам даны три отрезка, соответствующие стороне $a$, медиане $m_b$, и угол $\alpha$. Искомый треугольник обозначим как $ABC$, где $BC=a$, $\angle BAC = \alpha$, и медиана из вершины $B$ к стороне $AC$ равна $m_b$.

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. В нем $BC=a$, $\angle BAC = \alpha$, и $BM = m_b$, где $M$ — середина стороны $AC$.

1. Вершина $A$ должна лежать на геометрическом месте точек, из которых отрезок $BC$ виден под углом $\alpha$. Это ГМТ представляет собой дугу окружности $\Gamma$, проходящую через точки $B$ и $C$.

2. Точка $M$ является серединой отрезка $AC$. Это означает, что $M$ является образом точки $A$ при гомотетии (центральном подобии) с центром в точке $C$ и коэффициентом $k=1/2$. Следовательно, когда точка $A$ движется по дуге $\Gamma$, точка $M$ движется по дуге $\Gamma'$, которая является образом дуги $\Gamma$ при этой гомотетии.

3. Также нам известно, что расстояние от вершины $B$ до точки $M$ равно $m_b$. Это означает, что точка $M$ должна лежать на окружности $\omega$ с центром в точке $B$ и радиусом $m_b$.

Таким образом, точка $M$ является точкой пересечения двух геометрических мест: дуги $\Gamma'$ и окружности $\omega$. Найдя точку $M$, мы можем легко найти вершину $A$, так как точка $A$ лежит на луче $CM$ на расстоянии $2 \cdot CM$ от точки $C$.

1. Построить отрезок $BC$ длиной $a$.

2. Построить дугу $\Gamma$ — геометрическое место точек, из которых отрезок $BC$ виден под углом $\alpha$. Для этого:

   • Провести серединный перпендикуляр к отрезку $BC$.

   • От луча $CB$ в нужную полуплоскость отложить угол $\angle BCX = 90^\circ - \alpha$.

   • От луча $BC$ в ту же полуплоскость отложить угол $\angle CBY = 90^\circ - \alpha$.

   • Точка $O$, где пересекаются лучи $CX$ и $BY$, будет центром дуги $\Gamma$.

   • Провести дугу окружности $\Gamma$ с центром $O$ и радиусом $R = OB = OC$.

3. Построить дугу $\Gamma'$, являющуюся образом дуги $\Gamma$ при гомотетии с центром в точке $C$ и коэффициентом $k=1/2$.

   • Найти середину $O'$ отрезка $OC$. Это будет центр дуги $\Gamma'$.

   • Радиус дуги $\Gamma'$ будет равен $R' = R/2$.

   • Построить дугу $\Gamma'$ с центром $O'$ и радиусом $R'$.

4. Построить окружность $\omega$ с центром в точке $B$ и радиусом, равным длине медианы $m_b$.

5. Найти точку (или точки) $M$ пересечения дуги $\Gamma'$ и окружности $\omega$.

6. Для каждой найденной точки $M$ выполнить следующие действия:

   • Провести луч $CM$.

   • На луче $CM$ отложить отрезок $CA = 2 \cdot CM$. Полученная точка $A$ является третьей вершиной треугольника.

   • Соединить точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ построен.

Докажем, что построенный треугольник $ABC$ является искомым.

1. Сторона $BC$ по построению равна $a$.

2. Точка $M$ лежит на окружности $\omega(B, m_b)$, поэтому отрезок $BM$ имеет длину $m_b$. По построению, $M$ является серединой отрезка $AC$ ($CA = 2 \cdot CM$). Следовательно, $BM$ — это медиана, проведенная к стороне $AC$, и ее длина равна $m_b$.

3. Точка $M$ лежит на дуге $\Gamma'$, которая является образом дуги $\Gamma$ при гомотетии с центром $C$ и коэффициентом $1/2$. Точка $A$ была построена как образ $M$ при гомотетии с центром $C$ и коэффициентом $2$. Следовательно, точка $A$ лежит на дуге $\Gamma$. По свойству этой дуги, угол $\angle BAC$, опирающийся на хорду $BC$, равен заданному углу $\alpha$.

Таким образом, все условия задачи выполнены, и построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Число решений задачи зависит от числа точек пересечения дуги $\Gamma'$ и окружности $\omega(B, m_b)$.

Пусть $R'$ — радиус окружности, содержащей дугу $\Gamma'$, $O'$ — ее центр, и $d = |BO'|$ — расстояние между центрами $B$ и $O'$. Окружность и дуга могут пересекаться, если выполняются условия для пересечения окружностей: $|R' - d| \le m_b \le R' + d$.

• Если $m_b < |R' - d|$ или $m_b > R' + d$, то окружности не пересекаются, и решений нет (0 решений).

• Если $m_b = |R' - d|$ или $m_b = R' + d$, окружности касаются. Если точка касания принадлежит дуге $\Gamma'$, то задача имеет одно решение.

• Если $|R' - d| < m_b < R' + d$, окружности пересекаются в двух точках. Каждая точка пересечения, лежащая на дуге $\Gamma'$, дает одно решение. Таким образом, задача может иметь одно или два решения.

В общем случае, в зависимости от соотношения заданных величин $a$, $\alpha$ и $m_b$, задача может иметь 0, 1 или 2 решения.

Ответ: Алгоритм построения треугольника описан в разделе «Построение». Задача может иметь 0, 1 или 2 решения в зависимости от заданных длин стороны, медианы и величины угла.

2.78. Постройте треугольник по отрезк

2.79. Постройте треугольник из задачи 2.74.

Задача 2.79 ссылается на задачу 2.74, условие которой: «Постройте треугольник по стороне и прилежащим к ней углам». Это классическая задача на построение, в основе которой лежит второй признак равенства треугольников. Решение выполняется с помощью циркуля и линейки.

Анализ. Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Сторона $BC$ равна данному отрезку $a$, а прилежащие к ней углы $\angle B$ и $\angle C$ равны данным углам $\alpha$ и $\beta$. Видно, что вершина $A$ является точкой пересечения двух лучей: одного, выпущенного из точки $B$ под углом $\alpha$ к отрезку $BC$, и другого, выпущенного из точки $C$ под углом $\beta$ к отрезку $CB$. Это наблюдение и ложится в основу построения.

Построение. Пусть нам дан отрезок $P_1Q_1$ (длиной $a$) и два угла $\angle h_1k_1$ (величиной $\alpha$) и $\angle h_2k_2$ (величиной $\beta$).

1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $B$.
2. С помощью циркуля отложим на прямой от точки $B$ отрезок $BC$, равный данному отрезку $P_1Q_1$.
3. От луча $BC$ в одной полуплоскости построим угол $\angle MBC$, равный данному углу $\angle h_1k_1$.
4. От луча $CB$ в той же полуплоскости построим угол $\angle NCB$, равный данному углу $\angle h_2k_2$.
5. Точку пересечения лучей $BM$ и $CN$ обозначим буквой $A$.
6. Треугольник $ABC$ – искомый.

Доказательство. В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ равна данному отрезку $P_1Q_1$ (по шагу 2), угол $\angle B$ равен данному углу $\angle h_1k_1$ (по шагу 3), а угол $\angle C$ равен данному углу $\angle h_2k_2$ (по шагу 4). Следовательно, треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование. Построение возможно только в том случае, если построенные лучи $BM$ и $CN$ пересекаются. Это произойдет тогда и только тогда, когда сумма углов $\alpha$ и $\beta$ будет меньше $180^\circ$ (поскольку сумма углов треугольника равна $180^\circ$). Если $\alpha + \beta < 180^\circ$, то задача имеет единственное решение (с точностью до равенства треугольников). Если $\alpha + \beta \ge 180^\circ$, то лучи не пересекутся, и задача решения не имеет.

Ответ: Алгоритм построения треугольника по стороне и двум прилежащим углам описан выше. Построение возможно и решение единственно, если сумма двух данных углов меньше $180^\circ$.

2.80. Постройте треугольник из задачи 2.75.

Задача состоит в построении треугольника $ABC$ по трём известным элементам: высоте $h_a$, проведенной из вершины $A$, и медианам $m_b$ и $m_c$, проведенным из вершин $B$ и $C$ соответственно.

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $h_a$ — это длина высоты $AH_a$, опущенной из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $BC$. Пусть $m_b$ и $m_c$ — это длины медиан $BB'$ и $CC'$ соответственно. Медианы пересекаются в одной точке $M$ (центроиде треугольника), которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, мы имеем следующие соотношения:

• $BM = \frac{2}{3}m_b$
• $CM = \frac{2}{3}m_c$

Пусть $A'$ — середина стороны $BC$. Точка $M$ лежит на медиане $AA'$. Расстояние от центроида $M$ до прямой $BC$ составляет одну треть от высоты $h_a$. То есть, если прямая $BC$ лежит на некоторой прямой $l$, то точка $M$ будет расположена на прямой $l_M$, параллельной $l$ и находящейся на расстоянии $\frac{1}{3}h_a$ от нее.

Рассмотрим точку $D$, симметричную точке $M$ относительно точки $A'$. Поскольку $A'$ является серединой отрезка $MD$ и серединой отрезка $BC$, четырехугольник $BMCD$ — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно:

• $CD = BM = \frac{2}{3}m_b$
• $BD = CM = \frac{2}{3}m_c$

Точка $D$, будучи симметричной $M$ относительно $A'$ на прямой $l$, будет находиться по другую сторону от прямой $l$ и на том же расстоянии, что и $M$, то есть на расстоянии $\frac{1}{3}h_a$ от $l$.

Это наблюдение позволяет нам разработать план построения. Мы можем построить точки $B, C, D$, зная длины сторон $CD$, $BD$ и расположение точек на параллельных прямых. Найдя $B$ и $C$, мы легко найдем их середину $A'$, затем точку $M$, и, наконец, вершину $A$.

1. По данным отрезкам $h_a, m_b, m_c$ строим с помощью циркуля и линейки отрезки длиной $d_M = \frac{1}{3}h_a$, $d_b = \frac{2}{3}m_b$ и $d_c = \frac{2}{3}m_c$. (Для построения трети отрезка используется теорема Фалеса).
2. Проводим произвольную прямую $l$, на которой будет лежать сторона $BC$.
3. Строим прямую $l_D$, параллельную прямой $l$ и находящуюся на расстоянии $d_M = \frac{1}{3}h_a$ от нее.
4. Выбираем на прямой $l$ произвольную точку $C$.
5. Строим окружность с центром в точке $C$ и радиусом $d_b = \frac{2}{3}m_b$. Точку пересечения этой окружности с прямой $l_D$ обозначаем как $D$. (Если пересечения нет, задача не имеет решения).
6. Строим окружность с центром в точке $D$ и радиусом $d_c = \frac{2}{3}m_c$. Точку пересечения этой окружности с прямой $l$ обозначаем как $B$. (Если пересечения нет, задача не имеет решения).
7. Мы получили сторону $BC$ искомого треугольника. Находим ее середину, точку $A'$.
8. Строим точку $M$, которая симметрична точке $D$ относительно точки $A'$. Для этого проводим прямую через $D$ и $A'$ и откладываем на ней за точкой $A'$ отрезок $A'M$, равный $DA'$.
9. Проводим луч $A'M$.
10. На этом луче от точки $A'$ откладываем отрезок $A'A = 3 \cdot A'M$. Точка $A$ является третьей вершиной искомого треугольника.
11. Треугольник $ABC$ построен.

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет условиям задачи.

1. Высота из вершины A: По построению, точка $A'$ лежит на прямой $l$. Точка $M$ симметрична $D$ относительно $A'$, а $D$ лежит на прямой $l_D$ на расстоянии $\frac{1}{3}h_a$ от $l$. Следовательно, $M$ лежит на прямой, параллельной $l$, по другую сторону от $l_D$ и на том же расстоянии $\frac{1}{3}h_a$ от $l$. Точка $A$ строится на луче $A'M$ так, что $A'A=3A'M$. По теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия), расстояние от точки $A$ до прямой $l$ будет в 3 раза больше расстояния от $M$ до $l$, то есть $3 \cdot \frac{h_a}{3} = h_a$. Таким образом, высота из $A$ равна $h_a$.

2. Медиана из вершины B: По построению, $A'$ — середина $BC$, а $M$ лежит на продолжении $A'A$ так, что $AM = 2MA'$. Это означает, что $AA'$ — медиана, а $M$ — центроид треугольника $ABC$. По построению $BMCD$ — параллелограмм, поэтому $BM = CD$. Длина $CD$ была построена равной $\frac{2}{3}m_b$. Следовательно, $BM = \frac{2}{3}m_b$. Поскольку $M$ — центроид, полная длина медианы из вершины $B$ равна $\frac{3}{2}BM = \frac{3}{2} \cdot (\frac{2}{3}m_b) = m_b$.

3. Медиана из вершины C: Аналогично, в параллелограмме $BMCD$ имеем $CM = BD$. Длина $BD$ была построена равной $\frac{2}{3}m_c$. Следовательно, $CM = \frac{2}{3}m_c$. Поскольку $M$ — центроид, полная длина медианы из вершины $C$ равна $\frac{3}{2}CM = \frac{3}{2} \cdot (\frac{2}{3}m_c) = m_c$.

Все условия задачи выполнены.

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда все шаги построения выполнимы.

1. Для существования точки $D$ (шаг 5) необходимо, чтобы окружность с центром $C$ и радиусом $\frac{2}{3}m_b$ пересекала прямую $l_D$. Расстояние от точки $C$ до прямой $l_D$ равно $\frac{h_a}{3}$. Следовательно, должно выполняться условие: $\frac{2}{3}m_b \ge \frac{h_a}{3}$, что эквивалентно $2m_b \ge h_a$.

2. Для существования точки $B$ (шаг 6) необходимо, чтобы окружность с центром $D$ и радиусом $\frac{2}{3}m_c$ пересекала прямую $l$. Расстояние от точки $D$ до прямой $l$ равно $\frac{h_a}{3}$. Следовательно, должно выполняться условие: $\frac{2}{3}m_c \ge \frac{h_a}{3}$, что эквивалентно $2m_c \ge h_a$.

Таким образом, задача имеет решение, если выполнены оба неравенства: $2m_b \ge h_a$ и $2m_c \ge h_a$.

Если неравенства строгие ($2m_b > h_a$ и $2m_c > h_a$), то:

• На шаге 5 будет две возможные точки $D$, симметричные относительно перпендикуляра из $C$ к $l_D$. Выбор любой из них приводит к конгруэнтным решениям.
• На шаге 6 будет две возможные точки $B$, $B_1$ и $B_2$, симметричные относительно перпендикуляра из $D$ к $l$. В общем случае, это приводит к двум неконгруэнтным треугольникам, так как длины стороны $BC$ будут различны: $a = |BC_1|$ и $a' = |BC_2|$. Длины стороны $BC$ можно вычислить по формуле $a = \frac{1}{3}\left|\sqrt{4m_b^2 - h_a^2} \pm \sqrt{4m_c^2 - h_a^2}\right|$.

Если хотя бы в одном из условий достигается равенство, то соответствующая окружность касается прямой, и число решений уменьшается. Если хотя бы одно из условий не выполнено, задача не имеет решений.

Ответ: Алгоритм построения треугольника и анализ условий существования решения представлены выше. Задача имеет решение, если выполняются условия $2m_b \ge h_a$ и $2m_c \ge h_a$. В общем случае, при выполнении строгих неравенств, задача имеет два неконгруэнтных решения.

2.81. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе $c$ и проведенной к ней высоте $h_c$ (рис. 2.31).

Рис. 2.31

Для решения задачи построения прямоугольного треугольника по гипотенузе $c$ и высоте $h_c$, проведенной к гипотенузе, разобьем процесс на стандартные для задач на построение этапы: анализ, построение, доказательство и исследование.

Предположим, что искомый прямоугольный треугольник $ABC$ построен. Пусть $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза $AB = c$, а высота $CH$, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, имеет длину $h_c$.

Ключевым свойством прямоугольного треугольника является то, что вершина прямого угла лежит на окружности, диаметром которой является гипотенуза. Это следует из того факта, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой. Таким образом, точка $C$ должна лежать на окружности с диаметром $AB$. Центр этой окружности — середина гипотенузы $AB$, точка $O$, а радиус равен $R = c/2$.

Второе условие связано с высотой. Вершина $C$ удалена от прямой, содержащей гипотенузу $AB$, на расстояние, равное длине высоты $h_c$. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, — это две прямые, параллельные данной.

Следовательно, искомая вершина $C$ является точкой пересечения этих двух геометрических мест: окружности с диаметром $AB$ и прямой, параллельной $AB$ и находящейся на расстоянии $h_c$ от нее.

Выполним построение с помощью циркуля и линейки, имея два отрезка: $c$ и $h_c$.

1. На произвольной прямой отложим отрезок $AB$, равный по длине гипотенузе $c$.
2. Найдем середину отрезка $AB$. Для этого построим его серединный перпендикуляр. Обозначим середину как точку $O$.
3. Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA = c/2$.
4. Теперь построим прямую, параллельную $AB$ и отстоящую от нее на расстояние $h_c$. Для этого:
   • Восставим перпендикуляр к прямой $AB$ в любой ее точке (удобнее всего в точке $O$).
   • На этом перпендикуляре от точки $O$ отложим отрезок длиной $h_c$. Пусть его конец — точка $P$.
   • Через точку $P$ проведем прямую $l$, перпендикулярную отрезку $OP$. По построению, прямая $l$ будет параллельна $AB$.
5. Прямая $l$ пересечет окружность в одной или двух точках (если решение существует). Обозначим любую из этих точек пересечения как $C$.
6. Соединим точку $C$ с точками $A$ и $B$ отрезками.

Треугольник $ABC$ является искомым.

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• Сторона $AB$ по построению равна отрезку $c$.
• Вершина $C$ лежит на окружности с диаметром $AB$. Следовательно, угол $\angle ACB$, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Это означает, что $ABC$ — прямоугольный треугольник, а $AB$ — его гипотенуза.
• Вершина $C$ лежит на прямой $l$, которая по построению параллельна прямой $AB$ и находится на расстоянии $h_c$ от нее. Следовательно, расстояние от точки $C$ до прямой $AB$, то есть высота, проведенная к гипотенузе, равна $h_c$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Задача имеет решение только в том случае, если построенные на шагах 3 и 4 окружность и прямая $l$ имеют хотя бы одну общую точку. Это зависит от соотношения между радиусом окружности ($R=c/2$) и расстоянием от ее центра до прямой $l$ (которое равно $h_c$).

• Если $h_c > c/2$, то расстояние от центра до прямой больше радиуса. Прямая и окружность не пересекаются, и задача не имеет решений.
• Если $h_c = c/2$, прямая касается окружности в одной точке. Эта точка и будет вершиной $C$. В этом случае существует единственное решение (треугольник будет равнобедренным, так как высота к гипотенузе равна медиане).
• Если $h_c < c/2$, прямая пересекает окружность в двух точках $C_1$ и $C_2$. Мы получаем два треугольника: $ABC_1$ и $ABC_2$. Эти треугольники симметричны относительно серединного перпендикуляра к $AB$ и, следовательно, равны. Таким образом, задача имеет одно уникальное решение (с точностью до конгруэнтности).

Ответ: Задача имеет решение при условии, что высота к гипотенузе не превышает половины гипотенузы, то есть $h_c \le c/2$. Алгоритм построения описан выше и заключается в нахождении вершины прямого угла как точки пересечения окружности, построенной на гипотенузе как на диаметре, и прямой, параллельной гипотенузе и отстоящей от нее на расстояние, равное высоте.

2.82. Один катет и радиус описанной около прямоугольного треугольника $a = R = 4 \text{ см}$. Найдите все неизвестные элементы этого треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$, острыми углами $\alpha$ и $\beta$ (противолежащими катетам $a$ и $b$ соответственно) и прямым углом $\gamma=90^\circ$. По условию задачи, один катет $a = 4$ см, а радиус описанной окружности $R = 4$ см. Найдем все неизвестные элементы: гипотенузу $c$, второй катет $b$, углы $\alpha$ и $\beta$, площадь $S$, периметр $P$ и радиус вписанной окружности $r$.

1. Нахождение гипотенузы $c$

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы, а ее радиус $R$ равен половине длины гипотенузы $c$. Таким образом, $c = 2R$. Подставим известное значение $R$: $c = 2 \times 4 = 8$ см.
Ответ: гипотенуза $c = 8$ см.

2. Нахождение второго катета $b$

Используем теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$. Выразим из нее катет $b$: $b = \sqrt{c^2 - a^2}$. Подставим известные значения $a$ и $c$: $b = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48}$. Упростим полученное значение: $b = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$ см.
Ответ: второй катет $b = 4\sqrt{3}$ см.

3. Нахождение острых углов $\alpha$ и $\beta$

Угол $\alpha$ — это угол, противолежащий катету $a$. Его синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: $\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Отсюда находим угол: $\alpha = \arcsin(\frac{1}{2}) = 30^\circ$.
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому второй острый угол $\beta$ равен: $\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
Ответ: острые углы равны $30^\circ$ и $60^\circ$.

4. Нахождение площади $S$

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$. Подставим значения катетов: $S = \frac{1}{2} \times 4 \times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см$^2$.
Ответ: площадь $S = 8\sqrt{3}$ см$^2$.

5. Нахождение периметра $P$

Периметр — это сумма длин всех сторон треугольника: $P = a + b + c$. Подставим найденные значения сторон: $P = 4 + 4\sqrt{3} + 8 = 12 + 4\sqrt{3}$ см. Можно вынести общий множитель: $P = 4(3 + \sqrt{3})$ см.
Ответ: периметр $P = 12 + 4\sqrt{3}$ см.

6. Нахождение радиуса вписанной окружности $r$

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле $r = \frac{a+b-c}{2}$. Подставим значения сторон: $r = \frac{4 + 4\sqrt{3} - 8}{2} = \frac{4\sqrt{3} - 4}{2} = 2\sqrt{3} - 2$ см. Можно вынести общий множитель: $r = 2(\sqrt{3} - 1)$ см.
Ответ: радиус вписанной окружности $r = 2(\sqrt{3} - 1)$ см.