Страница 77 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.13. Длины сторон комнаты 5,5 м и 6 м. Сколько дощечек паркета нужно для обивки пола, если каждая дощечка имеет форму прямоугольника с размерами $30 \times 5 \text{ см}^2$?

Для решения задачи необходимо найти общую площадь пола комнаты и площадь одной паркетной дощечки. Затем, разделив площадь комнаты на площадь дощечки, мы получим необходимое количество дощечек.

Шаг 1: Приведение всех размеров к единой системе измерения.

Удобнее всего проводить все вычисления в сантиметрах, так как размеры дощечки даны в сантиметрах.Переведем размеры комнаты из метров в сантиметры, зная, что $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.

Длина комнаты: $a_{к} = 5,5 \text{ м} = 5,5 \times 100 \text{ см} = 550 \text{ см}$.

Ширина комнаты: $b_{к} = 6 \text{ м} = 6 \times 100 \text{ см} = 600 \text{ см}$.

Размеры паркетной дощечки: $a_{д} = 30 \text{ см}$, $b_{д} = 5 \text{ см}$.

Шаг 2: Вычисление площади комнаты.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \times b$.Площадь комнаты ($S_{к}$) равна:

$S_{к} = a_{к} \times b_{к} = 550 \text{ см} \times 600 \text{ см} = 330000 \text{ см}^2$.

Шаг 3: Вычисление площади одной паркетной дощечки.

Площадь одной дощечки ($S_{д}$) равна:

$S_{д} = a_{д} \times b_{д} = 30 \text{ см} \times 5 \text{ см} = 150 \text{ см}^2$.

Шаг 4: Расчет необходимого количества дощечек.

Чтобы найти, сколько дощечек потребуется для обивки всего пола, разделим площадь комнаты на площадь одной дощечки:

Количество дощечек (N) = $\frac{S_{к}}{S_{д}} = \frac{330000 \text{ см}^2}{150 \text{ см}^2} = 2200$.

Ответ: 2200 дощечек.

3.14. Два участка земли огородили забором одинаковой длины. Первый участок имеет форму прямоугольника со сторонами 60 м и 100 м, а второй – форму квадрата. Какой из этих участков больше по площади?

Для того чтобы определить, какой из участков больше по площади, необходимо найти площади обоих участков и сравнить их. Так как участки огорожены забором одинаковой длины, их периметры равны.

1. Нахождение периметра первого участка (прямоугольника).

Периметр прямоугольника ($P_1$) со сторонами $a = 60$ м и $b = 100$ м вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$.

$P_1 = 2 \times (60 \text{ м} + 100 \text{ м}) = 2 \times 160 \text{ м} = 320 \text{ м}$.

Следовательно, длина забора составляет 320 метров.

2. Нахождение площади первого участка (прямоугольника).

Площадь прямоугольника ($S_1$) вычисляется по формуле $S = a \times b$.

$S_1 = 60 \text{ м} \times 100 \text{ м} = 6000 \text{ м}^2$.

3. Нахождение стороны и площади второго участка (квадрата).

Периметр второго участка ($P_2$) равен периметру первого, то есть $P_2 = 320$ м. Второй участок имеет форму квадрата. Периметр квадрата со стороной $s$ равен $P = 4s$. Найдем сторону квадрата:

$s = P_2 / 4 = 320 \text{ м} / 4 = 80 \text{ м}$.

Площадь квадрата ($S_2$) вычисляется по формуле $S = s^2$.

$S_2 = (80 \text{ м})^2 = 6400 \text{ м}^2$.

4. Сравнение площадей.

Сравним площади двух участков:

Площадь прямоугольного участка: $S_1 = 6000 \text{ м}^2$.

Площадь квадратного участка: $S_2 = 6400 \text{ м}^2$.

Так как $6400 \text{ м}^2 > 6000 \text{ м}^2$, то площадь второго участка больше.

Ответ: Участок, имеющий форму квадрата, больше по площади.

3.15. Как разделить квадрат на три части, чтобы из них сложить параллелограмм?

Для решения этой задачи воспользуемся тем фактом, что прямоугольник является частным случаем параллелограмма. Мы можем разделить квадрат на три части и сложить из них прямоугольник, размеры которого отличаются от размеров исходного квадрата. При этом площадь фигуры должна сохраниться.

Пусть сторона исходного квадрата равна $a$. Его площадь составляет $S_{квадрата} = a^2$. Мы можем сложить из его частей, например, прямоугольник со сторонами $2a$ и $a/2$. Площадь этого прямоугольника будет $S_{прямоугольника} = 2a \cdot \frac{a}{2} = a^2$, что равно площади исходного квадрата.

Разделение квадрата

Чтобы получить необходимые для сборки части, нужно сделать два разреза:

1. Первый разрез делит квадрат пополам, превращая его в два одинаковых прямоугольника размером $a \times \frac{a}{2}$. Этот разрез делается по линии, соединяющей середины двух противоположных сторон.
2. Второй разрез делит один из получившихся прямоугольников ещё раз пополам. Этот разрез делается по линии, соединяющей середины его более длинных сторон (длиной $a$).

В результате этих двух разрезов мы получаем три части:

• Один прямоугольник размером $a \times \frac{a}{2}$.
• Два квадрата размером $\frac{a}{2} \times \frac{a}{2}$.

Сборка параллелограмма (прямоугольника)

Теперь из полученных трех частей можно сложить новый прямоугольник:

1. Возьмём два маленьких квадрата (размером $\frac{a}{2} \times \frac{a}{2}$) и приставим их друг к другу по одной из сторон. В результате получится прямоугольник размером $a \times \frac{a}{2}$.
2. Получившийся прямоугольник приставим к оставшейся большой части (также прямоугольнику размером $a \times \frac{a}{2}$) по стороне длиной $a$.

В итоге мы получим один большой прямоугольник. Его одна сторона будет равна $\frac{a}{2}$, а другая — сумме сторон $a$ и $a$, то есть $2a$. Таким образом, мы сложили из трех частей квадрата прямоугольник размером $2a \times \frac{a}{2}$, который является параллелограммом.

Ответ: Квадрат со стороной $a$ нужно разрезать на три части: один прямоугольник размером $a \times \frac{a}{2}$ и два квадрата размером $\frac{a}{2} \times \frac{a}{2}$. Это достигается двумя разрезами: первый разрез делит квадрат пополам на два прямоугольника, а второй — делит один из этих прямоугольников ещё раз пополам. Из этих трех частей складывается новый прямоугольник (являющийся параллелограммом) размером $2a \times \frac{a}{2}$, если приложить все три части длинными сторонами друг к другу.

3.16. Как разделить квадрат на три части, чтобы из них сложить ромб?

Чтобы разделить квадрат на три части и сложить из них ромб, можно воспользоваться следующим методом, известным как одна из головоломок Генри Дьюдени.

1. Построение разрезов

Пусть у нас есть квадрат $ABCD$ со стороной $a$.

1. Найдите середину стороны $AB$ и назовите ее точкой $E$.
2. Найдите середину стороны $BC$ и назовите ее точкой $F$.
3. Сделайте первый разрез по прямой линии от вершины $D$ к точке $E$.
4. Сделайте второй разрез по прямой линии от точки $E$ к точке $F$.

В результате этих двух разрезов квадрат будет разделен на три части:

• Часть 1: Прямоугольный треугольник $ADE$. Его катеты $AD=a$ и $AE = a/2$.
• Часть 2: Прямоугольный треугольник $EBF$. Его катеты $EB = a/2$ и $BF = a/2$.
• Часть 3: Четырехугольник $DFCE$.

2. Сборка ромба

Теперь необходимо переместить и повернуть полученные части, чтобы собрать из них ромб.

1. Основной частью, которая остается почти на месте, является четырехугольник $DFCE$.
2. Возьмем треугольник $ADE$ (Часть 1). Мысленно переместим его так, чтобы его сторона $AD$ совпала со стороной $BC$ исходного квадрата. Это значит, что вершина $A$ перемещается в точку $B$, а вершина $D$ — в точку $C$.
3. Возьмем треугольник $EBF$ (Часть 2). Повернем его на 180° вокруг точки $F$. В результате вершина $E$ переместится в точку $D$ исходного квадрата, а вершина $B$ — в точку $C$.

После этих перемещений три части сложатся в ромб. Стороны ромба будут равны длине отрезка $DE$ (гипотенузе треугольника $ADE$).

Ответ: Нужно найти середины двух смежных сторон квадрата (например, $AB$ и $BC$), назовем их $E$ и $F$. Затем разрезать квадрат по отрезкам $DE$ и $EF$. Полученные три части можно переложить, составив из них ромб.

3.17. Как разделить квадрат на две равновеликие части, вырезав из него второй квадрат?

Для того чтобы разделить квадрат на две равновеликие (то есть равные по площади) части, вырезав из него второй квадрат, необходимо, чтобы площадь вырезаемого квадрата была равна площади оставшейся части.

Пусть сторона исходного квадрата равна $A$, а его площадь $S_1 = A^2$.Пусть сторона вырезаемого квадрата равна $a$, а его площадь $S_2 = a^2$.

После вырезания квадрата с площадью $S_2$ из квадрата с площадью $S_1$ оставшаяся часть будет иметь площадь $S_{ост} = S_1 - S_2 = A^2 - a^2$.Согласно условию задачи, площади вырезанного квадрата и оставшейся части должны быть равны:$S_2 = S_{ост}$
$a^2 = A^2 - a^2$

Решим это уравнение относительно $a^2$:
$2a^2 = A^2$
$a^2 = \frac{A^2}{2}$

Отсюда находим соотношение между сторонами квадратов:
$a = \sqrt{\frac{A^2}{2}} = \frac{A}{\sqrt{2}}$

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы из исходного квадрата со стороной $A$ вырезать квадрат со стороной $a = \frac{A}{\sqrt{2}}$.

Способ построения:

Существует простой геометрический способ для такого вырезания.
1. Возьмем исходный квадрат.
2. Найдем середины каждой из четырех его сторон.
3. Соединим последовательно эти середины отрезками.
Полученная внутри фигура и будет искомым квадратом.

Доказательство:
Пусть исходный квадрат имеет сторону $A$. Фигура, полученная соединением середин его сторон, является квадратом (его стороны равны как гипотенузы равных прямоугольных треугольников, образующихся в углах исходного квадрата, а его углы — прямые).

Найдем длину стороны $a$ этого внутреннего квадрата. Рассмотрим один из угловых прямоугольных треугольников. Его катеты равны половине стороны исходного квадрата, то есть $\frac{A}{2}$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы (которая является стороной внутреннего квадрата) равен:$a^2 = (\frac{A}{2})^2 + (\frac{A}{2})^2 = \frac{A^2}{4} + \frac{A^2}{4} = \frac{2A^2}{4} = \frac{A^2}{2}$

Площадь вырезанного квадрата $S_2 = a^2 = \frac{A^2}{2}$.
Площадь исходного квадрата $S_1 = A^2$.
Площадь оставшейся части (состоящей из четырех угловых треугольников) равна $S_{ост} = S_1 - S_2 = A^2 - \frac{A^2}{2} = \frac{A^2}{2}$.

Таким образом, $S_2 = S_{ост}$, и условие задачи выполнено. Две равновеликие части — это вырезанный центральный квадрат и оставшаяся фигура, состоящая из четырех треугольников.

Ответ: Нужно вырезать из исходного квадрата другой квадрат, вершины которого являются серединами сторон исходного квадрата. При этом исходный квадрат разделится на две равновеликие части: вырезанный квадрат и оставшуюся фигуру (состоящую из четырех треугольников по углам).

его второй квадрат?

3.18. Постройте квадрат, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата.

Анализ задачи

Пусть дан квадрат со стороной $a$. Его площадь $S_1$ равна $a^2$. Нам необходимо построить новый квадрат, пусть его сторона будет $b$, площадь которого $S_2$ будет в два раза больше площади данного квадрата. Следовательно, должно выполняться условие: $S_2 = 2 \cdot S_1$.

Запишем это условие через стороны квадратов: $b^2 = 2 \cdot a^2$. Чтобы найти длину стороны нового квадрата $b$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $b = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Таким образом, задача сводится к построению отрезка длиной $a\sqrt{2}$, имея отрезок длиной $a$. Вспомним теорему Пифагора. Для прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $a$, гипотенуза $c$ будет равна: $c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $c = a\sqrt{2}$. Диагональ квадрата как раз является гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника, катеты которого — это стороны квадрата. Следовательно, длина диагонали исходного квадрата равна $a\sqrt{2}$, что и является требуемой длиной стороны нового квадрата.

Построение

Алгоритм построения искомого квадрата с помощью циркуля и линейки:

1. Пусть нам дан исходный квадрат $ABCD$ со стороной $a$.
2. С помощью линейки проводим его диагональ, например, $AC$. Длина этой диагонали равна $a\sqrt{2}$.
3. Теперь необходимо построить новый квадрат, сторона которого будет равна длине отрезка $AC$.
4. На произвольной прямой откладываем отрезок $A'C'$, равный по длине диагонали $AC$. Это будет первая сторона нового квадрата.
5. В точке $A'$ с помощью циркуля и линейки строим прямую, перпендикулярную отрезку $A'C'$.
6. Раствором циркуля, равным длине отрезка $AC$, проводим дугу с центром в точке $A'$ так, чтобы она пересекла построенный перпендикуляр. Обозначим точку пересечения $D'$. Отрезок $A'D'$ — вторая сторона нового квадрата.
7. Не меняя раствора циркуля, проводим дугу с центром в точке $D'$.
8. Затем проводим дугу тем же раствором с центром в точке $C'$.
9. Точку пересечения двух последних дуг обозначаем $B'$.
10. Соединяем линейкой точки $D'$ с $B'$ и $C'$ с $B'$.

Четырехугольник $A'D'B'C'$ — искомый квадрат.

Доказательство

По построению, все стороны четырехугольника $A'D'B'C'$ равны между собой и равны длине диагонали $AC$ исходного квадрата. Угол $\angle D'A'C'$ прямой. Следовательно, $A'D'B'C'$ — квадрат со стороной $b = AC$.

Площадь исходного квадрата $S_1 = a^2$.

Площадь построенного квадрата $S_2 = b^2 = (AC)^2$.

Из прямоугольного треугольника $ABC$ по теореме Пифагора находим квадрат диагонали: $AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.

Таким образом, $S_2 = 2a^2$. Сравнивая площади, получаем $S_2 = 2 \cdot S_1$. Построение выполнено верно.

Ответ: Для построения квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного, нужно построить новый квадрат на диагонали данного квадрата как на стороне.

3.19. Докажите, что среди всех равновеликих прямоугольников наименьший периметр имеет квадрат.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим произвольный прямоугольник. Пусть его стороны равны $a$ и $b$.

Площадь $S$ такого прямоугольника вычисляется по формуле:

$S = a \cdot b$

Периметр $P$ прямоугольника вычисляется по формуле:

$P = 2(a + b)$

По условию задачи, мы рассматриваем равновеликие прямоугольники, то есть прямоугольники с одинаковой площадью. Это означает, что величина $S$ является постоянной. Наша задача — найти, при каком соотношении сторон $a$ и $b$ периметр $P$ будет принимать наименьшее значение.

Воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (также известным как неравенство Коши) для двух положительных чисел $a$ и $b$:

$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

Это неравенство справедливо для любых положительных $a$ и $b$, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда $a = b$.

Давайте преобразуем это неравенство, чтобы связать его с периметром. Умножим обе части на 2:

$a+b \ge 2\sqrt{ab}$

Теперь умножим обе части на 2 еще раз, чтобы левая часть стала равна периметру $P = 2(a+b)$:

$2(a+b) \ge 4\sqrt{ab}$

Подставив выражения для периметра $P$ и площади $S$, получаем:

$P \ge 4\sqrt{S}$

Так как $S$ — постоянная величина, мы получили, что периметр $P$ любого прямоугольника с площадью $S$ всегда больше или равен $4\sqrt{S}$. Это означает, что наименьшее возможное значение периметра равно $4\sqrt{S}$.

Это минимальное значение достигается, когда в исходном неравенстве Коши выполняется равенство. Условием равенства является $a = b$.

Прямоугольник, у которого стороны равны ($a=b$), по определению является квадратом.

Таким образом, мы доказали, что среди всех прямоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр имеет квадрат.

Ответ: Что и требовалось доказать.