Номер 3.18, страница 77 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

его второй квадрат?

3.18. Постройте квадрат, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата.

Анализ задачи

Пусть дан квадрат со стороной $a$. Его площадь $S_1$ равна $a^2$. Нам необходимо построить новый квадрат, пусть его сторона будет $b$, площадь которого $S_2$ будет в два раза больше площади данного квадрата. Следовательно, должно выполняться условие: $S_2 = 2 \cdot S_1$.

Запишем это условие через стороны квадратов: $b^2 = 2 \cdot a^2$. Чтобы найти длину стороны нового квадрата $b$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $b = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Таким образом, задача сводится к построению отрезка длиной $a\sqrt{2}$, имея отрезок длиной $a$. Вспомним теорему Пифагора. Для прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $a$, гипотенуза $c$ будет равна: $c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $c = a\sqrt{2}$. Диагональ квадрата как раз является гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника, катеты которого — это стороны квадрата. Следовательно, длина диагонали исходного квадрата равна $a\sqrt{2}$, что и является требуемой длиной стороны нового квадрата.

Построение

Алгоритм построения искомого квадрата с помощью циркуля и линейки:

1. Пусть нам дан исходный квадрат $ABCD$ со стороной $a$.
2. С помощью линейки проводим его диагональ, например, $AC$. Длина этой диагонали равна $a\sqrt{2}$.
3. Теперь необходимо построить новый квадрат, сторона которого будет равна длине отрезка $AC$.
4. На произвольной прямой откладываем отрезок $A'C'$, равный по длине диагонали $AC$. Это будет первая сторона нового квадрата.
5. В точке $A'$ с помощью циркуля и линейки строим прямую, перпендикулярную отрезку $A'C'$.
6. Раствором циркуля, равным длине отрезка $AC$, проводим дугу с центром в точке $A'$ так, чтобы она пересекла построенный перпендикуляр. Обозначим точку пересечения $D'$. Отрезок $A'D'$ — вторая сторона нового квадрата.
7. Не меняя раствора циркуля, проводим дугу с центром в точке $D'$.
8. Затем проводим дугу тем же раствором с центром в точке $C'$.
9. Точку пересечения двух последних дуг обозначаем $B'$.
10. Соединяем линейкой точки $D'$ с $B'$ и $C'$ с $B'$.

Четырехугольник $A'D'B'C'$ — искомый квадрат.

Доказательство

По построению, все стороны четырехугольника $A'D'B'C'$ равны между собой и равны длине диагонали $AC$ исходного квадрата. Угол $\angle D'A'C'$ прямой. Следовательно, $A'D'B'C'$ — квадрат со стороной $b = AC$.

Площадь исходного квадрата $S_1 = a^2$.

Площадь построенного квадрата $S_2 = b^2 = (AC)^2$.

Из прямоугольного треугольника $ABC$ по теореме Пифагора находим квадрат диагонали: $AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.

Таким образом, $S_2 = 2a^2$. Сравнивая площади, получаем $S_2 = 2 \cdot S_1$. Построение выполнено верно.

Ответ: Для построения квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного, нужно построить новый квадрат на диагонали данного квадрата как на стороне.