Номер 3.19, страница 77 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.19. Докажите, что среди всех равновеликих прямоугольников наименьший периметр имеет квадрат.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим произвольный прямоугольник. Пусть его стороны равны $a$ и $b$.

Площадь $S$ такого прямоугольника вычисляется по формуле:

$S = a \cdot b$

Периметр $P$ прямоугольника вычисляется по формуле:

$P = 2(a + b)$

По условию задачи, мы рассматриваем равновеликие прямоугольники, то есть прямоугольники с одинаковой площадью. Это означает, что величина $S$ является постоянной. Наша задача — найти, при каком соотношении сторон $a$ и $b$ периметр $P$ будет принимать наименьшее значение.

Воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (также известным как неравенство Коши) для двух положительных чисел $a$ и $b$:

$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

Это неравенство справедливо для любых положительных $a$ и $b$, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда $a = b$.

Давайте преобразуем это неравенство, чтобы связать его с периметром. Умножим обе части на 2:

$a+b \ge 2\sqrt{ab}$

Теперь умножим обе части на 2 еще раз, чтобы левая часть стала равна периметру $P = 2(a+b)$:

$2(a+b) \ge 4\sqrt{ab}$

Подставив выражения для периметра $P$ и площади $S$, получаем:

$P \ge 4\sqrt{S}$

Так как $S$ — постоянная величина, мы получили, что периметр $P$ любого прямоугольника с площадью $S$ всегда больше или равен $4\sqrt{S}$. Это означает, что наименьшее возможное значение периметра равно $4\sqrt{S}$.

Это минимальное значение достигается, когда в исходном неравенстве Коши выполняется равенство. Условием равенства является $a = b$.

Прямоугольник, у которого стороны равны ($a=b$), по определению является квадратом.

Таким образом, мы доказали, что среди всех прямоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр имеет квадрат.

Ответ: Что и требовалось доказать.