Номер 3.17, страница 77 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.17. Как разделить квадрат на две равновеликие части, вырезав из него второй квадрат?

Для того чтобы разделить квадрат на две равновеликие (то есть равные по площади) части, вырезав из него второй квадрат, необходимо, чтобы площадь вырезаемого квадрата была равна площади оставшейся части.

Пусть сторона исходного квадрата равна $A$, а его площадь $S_1 = A^2$.Пусть сторона вырезаемого квадрата равна $a$, а его площадь $S_2 = a^2$.

После вырезания квадрата с площадью $S_2$ из квадрата с площадью $S_1$ оставшаяся часть будет иметь площадь $S_{ост} = S_1 - S_2 = A^2 - a^2$.Согласно условию задачи, площади вырезанного квадрата и оставшейся части должны быть равны:$S_2 = S_{ост}$
$a^2 = A^2 - a^2$

Решим это уравнение относительно $a^2$:
$2a^2 = A^2$
$a^2 = \frac{A^2}{2}$

Отсюда находим соотношение между сторонами квадратов:
$a = \sqrt{\frac{A^2}{2}} = \frac{A}{\sqrt{2}}$

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы из исходного квадрата со стороной $A$ вырезать квадрат со стороной $a = \frac{A}{\sqrt{2}}$.

Способ построения:

Существует простой геометрический способ для такого вырезания.
1. Возьмем исходный квадрат.
2. Найдем середины каждой из четырех его сторон.
3. Соединим последовательно эти середины отрезками.
Полученная внутри фигура и будет искомым квадратом.

Доказательство:
Пусть исходный квадрат имеет сторону $A$. Фигура, полученная соединением середин его сторон, является квадратом (его стороны равны как гипотенузы равных прямоугольных треугольников, образующихся в углах исходного квадрата, а его углы — прямые).

Найдем длину стороны $a$ этого внутреннего квадрата. Рассмотрим один из угловых прямоугольных треугольников. Его катеты равны половине стороны исходного квадрата, то есть $\frac{A}{2}$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы (которая является стороной внутреннего квадрата) равен:$a^2 = (\frac{A}{2})^2 + (\frac{A}{2})^2 = \frac{A^2}{4} + \frac{A^2}{4} = \frac{2A^2}{4} = \frac{A^2}{2}$

Площадь вырезанного квадрата $S_2 = a^2 = \frac{A^2}{2}$.
Площадь исходного квадрата $S_1 = A^2$.
Площадь оставшейся части (состоящей из четырех угловых треугольников) равна $S_{ост} = S_1 - S_2 = A^2 - \frac{A^2}{2} = \frac{A^2}{2}$.

Таким образом, $S_2 = S_{ост}$, и условие задачи выполнено. Две равновеликие части — это вырезанный центральный квадрат и оставшаяся фигура, состоящая из четырех треугольников.

Ответ: Нужно вырезать из исходного квадрата другой квадрат, вершины которого являются серединами сторон исходного квадрата. При этом исходный квадрат разделится на две равновеликие части: вырезанный квадрат и оставшуюся фигуру (состоящую из четырех треугольников по углам).