Номер 3.12, страница 76 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.12. Найдите стороны прямоугольника, если:

1) его площадь равна $250 \text{ см}^2$, а одна сторона в 2,5 раза больше другой;

2) его площадь равна $9 \text{ м}^2$, а периметр – 12 м.

1) Пусть одна сторона прямоугольника равна $a$ см. Согласно условию, другая сторона в 2,5 раза больше, то есть ее длина составляет $2.5a$ см. Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение его смежных сторон. По условию, площадь равна 250 см².

Составим и решим уравнение:

$a \cdot (2.5a) = 250$

$2.5a^2 = 250$

Разделим обе части уравнения на 2,5:

$a^2 = \frac{250}{2.5}$

$a^2 = 100$

Извлечем квадратный корень:

$a = \sqrt{100} = 10$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, мы выбираем положительное значение корня. Таким образом, меньшая сторона равна 10 см.

Теперь найдем большую сторону:

$b = 2.5 \cdot a = 2.5 \cdot 10 = 25$ см.

Проверка: площадь $S = 10 \text{ см} \cdot 25 \text{ см} = 250 \text{ см}^2$. Условие выполняется.

Ответ: стороны прямоугольника равны 10 см и 25 см.

2) Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$ метров. Площадь прямоугольника $S = a \cdot b$, а его периметр $P = 2(a+b)$. Из условия задачи мы знаем, что $S = 9$ м² и $P = 12$ м.

Мы можем составить систему из двух уравнений:

$\begin{cases} a \cdot b = 9 \\ 2(a+b) = 12 \end{cases}$

Упростим второе уравнение, разделив обе его части на 2:

$a+b = \frac{12}{2}$

$a+b = 6$

Теперь наша система выглядит так:

$\begin{cases} a+b = 6 \\ a \cdot b = 9 \end{cases}$

По теореме, обратной теореме Виета, числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$. Подставим известные нам значения суммы и произведения:

$t^2 - 6t + 9 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(t-3)^2 = 0$

Уравнение имеет единственный корень $t = 3$. Это означает, что обе стороны прямоугольника равны:

$a = 3$ м и $b = 3$ м.

Следовательно, данный прямоугольник является квадратом со стороной 3 м.

Проверка: площадь $S = 3 \text{ м} \cdot 3 \text{ м} = 9 \text{ м}^2$, периметр $P = 2(3 \text{ м} + 3 \text{ м}) = 12 \text{ м}$. Условия выполняются.

Ответ: стороны прямоугольника равны 3 м и 3 м.