Страница 76 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.3. Найдите площадь квадрата, если его стороны равны:

1) 1,2 см;

2) $\frac{3}{4}$ дм;

3) $3\sqrt{2}$ м.

Для нахождения площади квадрата используется формула $S = a^2$, где $S$ — это площадь, а $a$ — длина стороны квадрата.

1)

Дана сторона квадрата $a = 1,2$ см. Подставим это значение в формулу площади:
$S = (1,2 \text{ см})^2 = 1,44 \text{ см}^2$.

Ответ: $1,44 \text{ см}^2$.

2)

Дана сторона квадрата $a = \frac{3}{4}$ дм. Подставим это значение в формулу площади:
$S = \left(\frac{3}{4} \text{ дм}\right)^2 = \frac{3^2}{4^2} \text{ дм}^2 = \frac{9}{16} \text{ дм}^2$.

Ответ: $\frac{9}{16} \text{ дм}^2$.

3)

Дана сторона квадрата $a = 3\sqrt{2}$ м. Подставим это значение в формулу площади:
$S = (3\sqrt{2} \text{ м})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 \text{ м}^2 = 9 \cdot 2 \text{ м}^2 = 18 \text{ м}^2$.

Ответ: $18 \text{ м}^2$.

3.4. Найдите сторону квадрата, если его площадь равна: 1) 16 $см^2$; 2) 2,25 $дм^2$; 3) 12 $м^2$.

Для нахождения стороны квадрата ($a$) по его известной площади ($S$) используется формула, которая является обратной к формуле площади квадрата ($S = a^2$):

$a = \sqrt{S}$

Так как длина стороны является положительной величиной, мы находим арифметический квадратный корень из значения площади.

1)

Дано, что площадь квадрата равна $S = 16 \text{ см}^2$.

Найдем сторону квадрата, извлекая квадратный корень из площади:

$a = \sqrt{16 \text{ см}^2} = 4 \text{ см}$.

Ответ: $4 \text{ см}$.

2)

Дано, что площадь квадрата равна $S = 2,25 \text{ дм}^2$.

Найдем сторону квадрата:

$a = \sqrt{2,25 \text{ дм}^2} = 1,5 \text{ дм}$.

Ответ: $1,5 \text{ дм}$.

3)

Дано, что площадь квадрата равна $S = 12 \text{ м}^2$.

Найдем сторону квадрата:

$a = \sqrt{12 \text{ м}^2}$.

Для упрощения выражения разложим подкоренное число на множители:

$a = \sqrt{4 \cdot 3} \text{ м} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} \text{ м} = 2\sqrt{3} \text{ м}$.

Ответ: $2\sqrt{3} \text{ м}$.

3.5. Квадрат имеет площадь 16 $ \text{см}^2 $. Выразите это значение в:

Для того чтобы выразить площадь, заданную в квадратных сантиметрах (см²), в других единицах измерения площади, необходимо использовать соотношения между соответствующими линейными единицами длины. Исходная площадь составляет $16 \text{ см}^2$.

1) мм²
В одном сантиметре содержится 10 миллиметров ($1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$).
Чтобы найти соотношение для единиц площади, необходимо возвести это равенство в квадрат: $1 \text{ см}^2 = (10 \text{ мм})^2 = 100 \text{ мм}^2$.
Следовательно, для перевода площади из см² в мм², нужно умножить значение площади на 100.
$16 \text{ см}^2 = 16 \times 100 \text{ мм}^2 = 1600 \text{ мм}^2$.
Ответ: $1600 \text{ мм}^2$.

2) дм²
В одном дециметре содержится 10 сантиметров ($1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$). Отсюда следует, что $1 \text{ см} = \frac{1}{10} \text{ дм} = 0.1 \text{ дм}$.
Возведем это соотношение в квадрат для получения единиц площади: $1 \text{ см}^2 = (0.1 \text{ дм})^2 = 0.01 \text{ дм}^2$.
Следовательно, для перевода площади из см² в дм², нужно умножить значение площади на 0.01.
$16 \text{ см}^2 = 16 \times 0.01 \text{ дм}^2 = 0.16 \text{ дм}^2$.
Ответ: $0.16 \text{ дм}^2$.

3) м²
В одном метре содержится 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$). Отсюда следует, что $1 \text{ см} = \frac{1}{100} \text{ м} = 0.01 \text{ м}$.
Возведем это соотношение в квадрат для получения единиц площади: $1 \text{ см}^2 = (0.01 \text{ м})^2 = 0.0001 \text{ м}^2$.
Следовательно, для перевода площади из см² в м², нужно умножить значение площади на 0.0001.
$16 \text{ см}^2 = 16 \times 0.0001 \text{ м}^2 = 0.0016 \text{ м}^2$.
Ответ: $0.0016 \text{ м}^2$.

3.6. Стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, а его площадь – $S$. Найдите неизвестные величины по следующим данным:

1) $a = 8,5 \text{ см}$, $b = 3,2 \text{ см}$;

2) $a = 2\sqrt{2} \text{ м}$, $b = 3 \text{ м}$;

3) $a = 32 \text{ см}$, $S = 684,8 \text{ см}^2$;

4) $a = 4,5 \text{ м}$, $S = 12,15 \text{ м}^2$.

Для решения всех пунктов задачи используется формула площади прямоугольника: $S = a \cdot b$, где $S$ — площадь, $a$ и $b$ — длины его сторон.

1)

Дано: сторона $a = 8,5$ см, сторона $b = 3,2$ см.

Нужно найти площадь $S$.

Подставляем значения в формулу площади:

$S = a \cdot b = 8,5 \text{ см} \cdot 3,2 \text{ см} = 27,2 \text{ см}^2$.

Ответ: $S = 27,2 \text{ см}^2$.

2)

Дано: сторона $a = 2\sqrt{2}$ м, сторона $b = 3$ м.

Нужно найти площадь $S$.

Подставляем значения в формулу площади:

$S = a \cdot b = 2\sqrt{2} \text{ м} \cdot 3 \text{ м} = 6\sqrt{2} \text{ м}^2$.

Ответ: $S = 6\sqrt{2} \text{ м}^2$.

3)

Дано: сторона $a = 32$ см, площадь $S = 684,8$ см².

Нужно найти сторону $b$.

Из формулы площади $S = a \cdot b$ выражаем сторону $b$:

$b = \frac{S}{a}$

Подставляем известные значения:

$b = \frac{684,8 \text{ см}^2}{32 \text{ см}} = 21,4 \text{ см}$.

Ответ: $b = 21,4 \text{ см}$.

4)

Дано: сторона $a = 4,5$ м, площадь $S = 12,15$ м².

Нужно найти сторону $b$.

Так же, как и в предыдущем пункте, выражаем сторону $b$ из формулы площади:

$b = \frac{S}{a}$

Подставляем известные значения:

$b = \frac{12,15 \text{ м}^2}{4,5 \text{ м}} = 2,7 \text{ м}$.

Ответ: $b = 2,7 \text{ м}$.

3.7. Докажите, что̀ прямоугольник $ABCD$ и параллелограмм $EBCF$, изображенные на рис. 3.8, равновелики.

Чтобы доказать, что прямоугольник ABCD и параллелограмм EBCF являются равновеликими, необходимо показать, что их площади равны.

Площадь прямоугольника ABCD вычисляется как произведение длин его смежных сторон: $S_{ABCD} = AB \cdot BC$

Площадь параллелограмма EBCF вычисляется как произведение его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Выберем сторону BC в качестве основания параллелограмма.

Высотой параллелограмма, проведенной к основанию BC, является перпендикулярное расстояние между параллельными прямыми, на которых лежат основания BC и EF. Из условия известно, что ABCD — это прямоугольник. Следовательно, его сторона AB перпендикулярна стороне AD ($AB \perp AD$). Точки E, A, F, D лежат на одной прямой, значит, прямая, содержащая AD, совпадает с прямой, содержащей EF. Таким образом, отрезок AB перпендикулярен прямой EF. Поскольку в параллелограмме EBCF стороны BC и EF параллельны, а отрезок AB перпендикулярен прямой EF, то он также перпендикулярен и прямой BC. Следовательно, длина отрезка AB является высотой параллелограмма EBCF, проведенной к основанию BC.

Следовательно, площадь параллелограмма EBCF равна: $S_{EBCF} = \text{основание} \cdot \text{высота} = BC \cdot AB$

Сравнивая выражения для площадей, мы видим, что они равны: $S_{ABCD} = AB \cdot BC$ $S_{EBCF} = AB \cdot BC$ Значит, $S_{ABCD} = S_{EBCF}$.

Так как площади фигур равны, они равновелики, что и требовалось доказать.

Ответ: Площадь прямоугольника ABCD равна $S_{ABCD} = AB \cdot BC$. Площадь параллелограмма EBCF с основанием BC и высотой AB равна $S_{EBCF} = BC \cdot AB$. Поскольку площади фигур равны, они равновелики.

3.8. Докажите, что прямоугольник ABCD и треугольник AKD, изображенные на рис. 3.9, равновелики. Здесь $AE = EK$.

Рис. 3.9

Для доказательства того, что прямоугольник $ABCD$ и треугольник $AKD$ равновелики, то есть имеют равные площади, необходимо сравнить выражения для их площадей.

Площадь прямоугольника $ABCD$ вычисляется по формуле произведения его смежных сторон: $S_{ABCD} = AD \cdot AB$.

Площадь треугольника $AKD$ равна половине произведения его основания на высоту. Если принять $AD$ за основание, то формула площади будет $S_{AKD} = \frac{1}{2} AD \cdot h_K$, где $h_K$ — это высота, опущенная из вершины $K$ на прямую, содержащую сторону $AD$.

Таким образом, задача сводится к доказательству равенства $AD \cdot AB = \frac{1}{2} AD \cdot h_K$, что эквивалентно $AB = \frac{1}{2} h_K$, или $h_K = 2 \cdot AB$.

Проведем высоту $KM$ из вершины $K$ к основанию $AD$ (точка $M$ лежит на прямой $AD$). Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его сторона $BC$ параллельна стороне $AD$. Следовательно, высота $KM$ пересечет прямую $BC$. Обозначим точку их пересечения буквой $L$.

Рассмотрим треугольник $AKM$. Отрезок $EL$ является частью прямой $BC$, которая параллельна прямой $AD$, а значит, и отрезку $AM$. Таким образом, $EL \parallel AM$.

По условию задачи дано, что $AE = EK$. Это означает, что точка $E$ является серединой стороны $AK$ в треугольнике $AKM$.

Применим теорему Фалеса: если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне. В нашем случае, прямая $EL$ проходит через середину стороны $AK$ (точку $E$) и параллельна стороне $AM$, следовательно, она пересекает сторону $KM$ в ее середине, точке $L$.

Из этого следует, что $KL = LM$.

Отрезок $LM$ является частью высоты $KM$ и заключен между параллельными прямыми $BC$ и $AD$. Расстояние между этими прямыми равно высоте прямоугольника, то есть $AB$. Таким образом, $LM = AB$.

Так как $KL = LM$, мы получаем, что $KL = AB$.

Теперь найдем полную длину высоты $h_K$ треугольника $AKD$:$h_K = KM = KL + LM = AB + AB = 2 \cdot AB$.

Подставим найденное значение высоты $h_K$ в формулу площади треугольника $AKD$:$S_{AKD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_K = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot (2 \cdot AB) = AD \cdot AB$.

Сравнивая площади, мы видим, что $S_{ABCD} = AD \cdot AB$ и $S_{AKD} = AD \cdot AB$. Следовательно, $S_{ABCD} = S_{AKD}$.

Ответ: Площадь прямоугольника $S_{ABCD} = AD \cdot AB$. Высота треугольника $AKD$, проведенная к основанию $AD$, равна $h_K = 2 \cdot AB$. Поэтому площадь треугольника $S_{AKD} = \frac{1}{2} AD \cdot (2 \cdot AB) = AD \cdot AB$. Так как площади фигур равны, прямоугольник $ABCD$ и треугольник $AKD$ равновелики.

3.9. Докажите, что параллелограммы ABCD и AKLB, изображенные на рис. 3.10, равновелики.

Для доказательства того, что параллелограммы $ABCD$ и $AKLB$ равновелики, то есть имеют равные площади, воспользуемся формулой площади параллелограмма. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведенную к этому основанию: $S = a \cdot h$.

1. Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Выберем сторону $AB$ в качестве его основания. Высотой, соответствующей этому основанию, является перпендикуляр, проведенный из любой точки прямой $DC$ к прямой $AB$. Обозначим эту высоту $h$. Тогда площадь параллелограмма $ABCD$ вычисляется как:
$S_{ABCD} = |AB| \cdot h$.

2. Рассмотрим параллелограмм $AKLB$. У него также есть сторона $AB$, которую мы выберем в качестве основания. Противолежащая ей сторона — $KL$.

По определению параллелограмма, его противолежащие стороны параллельны. Значит, в параллелограмме $ABCD$ сторона $DC$ параллельна $AB$, а в параллелограмме $AKLB$ сторона $KL$ параллельна $AB$.

Из условия и рисунка следует, что точки $D$, $C$, $K$ и $L$ лежат на одной прямой. Это означает, что прямая, содержащая стороны $DC$ и $KL$, является общей для обоих фигур и она параллельна прямой, содержащей общее основание $AB$.

Высотой параллелограмма $AKLB$, проведенной к основанию $AB$, является перпендикуляр, проведенный из любой точки прямой $KL$ к прямой $AB$. Так как прямые $DC$ и $KL$ совпадают, то эта высота будет той же самой высотой $h$, что и у параллелограмма $ABCD$.

Следовательно, площадь параллелограмма $AKLB$ вычисляется как:
$S_{AKLB} = |AB| \cdot h$.

3. Сравнивая полученные выражения для площадей, мы видим, что они равны:
$S_{ABCD} = S_{AKLB} = |AB| \cdot h$.

Поскольку площади параллелограммов равны, они являются равновеликими, что и требовалось доказать.

Ответ: Параллелограммы $ABCD$ и $AKLB$ имеют общее основание $AB$. Их противолежащие стороны $DC$ и $KL$ лежат на одной прямой, которая параллельна основанию $AB$. Следовательно, высоты параллелограммов, проведенные к основанию $AB$, равны. Так как площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, площади данных параллелограммов равны, а значит, они равновелики.

3.10. Докажите, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Данное утверждение является формулировкой теоремы Пифагора в терминах площадей. Докажем его, используя геометрический метод, основанный на вычислении площади одной и той же фигуры двумя способами.

Пусть нам дан прямоугольный треугольник с катетами, длины которых равны $a$ и $b$, и гипотенузой длиной $c$.

Площадь квадрата, построенного на стороне фигуры, равна квадрату длины этой стороны. Таким образом, площадь квадрата на катете $a$ равна $a^2$, на катете $b$ — $b^2$, а на гипотенузе $c$ — $c^2$. Нам необходимо доказать, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе, то есть:

$a^2 + b^2 = c^2$

Для доказательства выполним следующее построение. Возьмем квадрат, построенный на гипотенузе $c$ (его площадь равна $c^2$), и расположим вокруг него четыре копии нашего исходного прямоугольного треугольника таким образом, чтобы гипотенуза каждого треугольника примыкала к одной из сторон квадрата.

В результате мы получим новую, большую фигуру. Убедимся, что эта фигура является квадратом. Каждая ее сторона состоит из катета $a$ одного треугольника и катета $b$ другого, соединенных вместе. Таким образом, все стороны этой большой фигуры равны $(a+b)$. Углы этой фигуры совпадают с прямыми углами приставленных треугольников, значит, они все прямые ($90^\circ$). Следовательно, большая фигура — это квадрат со стороной $(a+b)$.

Теперь площадь этого большого квадрата можно вычислить двумя способами.

Способ 1: По длине его стороны.
Площадь квадрата со стороной $(a+b)$ равна $S = (a+b)^2$. Используя формулу квадрата суммы, получаем: $S = a^2 + 2ab + b^2$.

Способ 2: Как сумму площадей фигур, из которых он состоит.
Большой квадрат состоит из одного центрального квадрата (со стороной $c$) и четырех одинаковых прямоугольных треугольников (с катетами $a$ и $b$).

• Площадь центрального квадрата: $S_{центр} = c^2$.
• Площадь одного треугольника: $S_{тр} = \frac{1}{2}ab$.
• Суммарная площадь четырех треугольников: $4 \times S_{тр} = 4 \times \frac{1}{2}ab = 2ab$.

Мы получили два разных выражения для площади одной и той же фигуры. Приравняем их:

$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$

Вычтем из обеих частей равенства слагаемое $2ab$:

$a^2 + b^2 = c^2$

Это равенство доказывает, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Следовательно, сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на его гипотенузе.

3.11. Как изменится площадь прямоугольника, если: 1) одну пару противоположных сторон увеличить в 2 раза; 2) каждую его сторону увеличить в 2 раза; 3) одну пару противоположных сторон увеличить в 2 раза, а другую пару – уменьшить в 2 раза?

Для решения задачи введем обозначения. Пусть первоначальный прямоугольник имеет стороны длиной $a$ и $b$. Его площадь $S$ находится по формуле: $S = a \cdot b$. Рассмотрим, как изменится площадь в каждом из трех случаев.

В этом случае одна из сторон, например $a$, увеличивается в 2 раза, а другая сторона, $b$, остается без изменений. Новые длины сторон будут $a_1 = 2a$ и $b_1 = b$. Новая площадь $S_1$ будет равна: $S_1 = a_1 \cdot b_1 = (2a) \cdot b = 2 \cdot (a \cdot b) = 2S$. Следовательно, площадь прямоугольника увеличится в 2 раза.
Ответ: площадь увеличится в 2 раза.

В этом случае обе стороны, $a$ и $b$, увеличиваются в 2 раза. Новые длины сторон будут $a_2 = 2a$ и $b_2 = 2b$. Новая площадь $S_2$ будет равна: $S_2 = a_2 \cdot b_2 = (2a) \cdot (2b) = 4 \cdot (a \cdot b) = 4S$. Следовательно, площадь прямоугольника увеличится в 4 раза.
Ответ: площадь увеличится в 4 раза.

В этом случае одна сторона, например $a$, увеличивается в 2 раза, а другая сторона, $b$, уменьшается в 2 раза. Новые длины сторон будут $a_3 = 2a$ и $b_3 = \frac{b}{2}$. Новая площадь $S_3$ будет равна: $S_3 = a_3 \cdot b_3 = (2a) \cdot \left(\frac{b}{2}\right) = \frac{2}{2} \cdot (a \cdot b) = a \cdot b = S$. Следовательно, площадь прямоугольника не изменится.
Ответ: площадь не изменится.

3.12. Найдите стороны прямоугольника, если:

1) его площадь равна $250 \text{ см}^2$, а одна сторона в 2,5 раза больше другой;

2) его площадь равна $9 \text{ м}^2$, а периметр – 12 м.

1) Пусть одна сторона прямоугольника равна $a$ см. Согласно условию, другая сторона в 2,5 раза больше, то есть ее длина составляет $2.5a$ см. Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение его смежных сторон. По условию, площадь равна 250 см².

Составим и решим уравнение:

$a \cdot (2.5a) = 250$

$2.5a^2 = 250$

Разделим обе части уравнения на 2,5:

$a^2 = \frac{250}{2.5}$

$a^2 = 100$

Извлечем квадратный корень:

$a = \sqrt{100} = 10$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, мы выбираем положительное значение корня. Таким образом, меньшая сторона равна 10 см.

Теперь найдем большую сторону:

$b = 2.5 \cdot a = 2.5 \cdot 10 = 25$ см.

Проверка: площадь $S = 10 \text{ см} \cdot 25 \text{ см} = 250 \text{ см}^2$. Условие выполняется.

Ответ: стороны прямоугольника равны 10 см и 25 см.

2) Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$ метров. Площадь прямоугольника $S = a \cdot b$, а его периметр $P = 2(a+b)$. Из условия задачи мы знаем, что $S = 9$ м² и $P = 12$ м.

Мы можем составить систему из двух уравнений:

$\begin{cases} a \cdot b = 9 \\ 2(a+b) = 12 \end{cases}$

Упростим второе уравнение, разделив обе его части на 2:

$a+b = \frac{12}{2}$

$a+b = 6$

Теперь наша система выглядит так:

$\begin{cases} a+b = 6 \\ a \cdot b = 9 \end{cases}$

По теореме, обратной теореме Виета, числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$. Подставим известные нам значения суммы и произведения:

$t^2 - 6t + 9 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(t-3)^2 = 0$

Уравнение имеет единственный корень $t = 3$. Это означает, что обе стороны прямоугольника равны:

$a = 3$ м и $b = 3$ м.

Следовательно, данный прямоугольник является квадратом со стороной 3 м.

Проверка: площадь $S = 3 \text{ м} \cdot 3 \text{ м} = 9 \text{ м}^2$, периметр $P = 2(3 \text{ м} + 3 \text{ м}) = 12 \text{ м}$. Условия выполняются.

Ответ: стороны прямоугольника равны 3 м и 3 м.